某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元。经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 $y$（件）与销售单价 $x$（元）之间满足一次函数关系：$y=-2 x+60$ ．
（1）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（2）设销售这种文具每天获利 $w$（元），求 $w$ 关于 $x$ 的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

某商场计划用 5400 元购买一批商品，若将进价降低 $10 \%$ ，则可以多购买该商品 30 件．市场调查反映：售价为每件 25 元时，每天可卖出 250 件．如果调整价格，一件商品每涨价 1 元，每天要少卖出 10 件．
（1）求该商品原来的进价；
（2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元／件？
（3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了 $A, B$ 两种营销方案．
方案 $A$ ：每件商品涨价不超过5元；
方案 $B$ ：每件商品的利润至少为16元。
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线 $A B, C D$间的距离与 $E F, G H$ 间的距离均为64米，双向安装红绿灯．

安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线 $A B$ 骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线 $E F$ 出来的汽车相撞，即可保证交通安全．

实验数据：测试时，甲沿 $B C$ 骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度 $v$（米／秒）、行驶距离 $s$（米）关于时间 $t$（秒）的函数图象分别为图 2、图 3，已知 $s=a(t-1)^2(1 \leq t \leq 4)$ ．

解决问题：


（1）求图3中 $m$ 的值．
（2）当 $t>4$ 时，求 $s$ 关于 $t$ 的函数表达式．
（3）如图 1，若甲骑车速度为 5 米／秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为 $T$ 秒．当 $T$ 要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．

如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 $A C B$ 和矩形的三边 $A E, E D, D B$ 组成，已知河底 $E D$ 是水平的，$E D=16 \mathrm{~m}, A E=8 \mathrm{~m}$ ，抛物线的顶点 $C$ 到 $E D$ 的距离是 11 m ，以 $E D$ 所在的直线为$x$ 轴，抛物线的对称轴为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。
（1）根据题意，填空：
① 顶点 $C$ 的坐标为＿；
② 点 $B$ 的坐标为＿
（2）求抛物线的解析式．
（3）已知从某时刻开始的40h内，水面与河底 $E D$ 的距离 $l$（单位：m）随时间 $t$（单位：h）的变化满足函数关系 $l= -\frac{1}{128}(t-19)^2+8(0 \leq x \leq 40)$ ，且当点 $C$ 到水面的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？

小明发现有一处隧道的截面由拋物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为 $O C=2 \mathrm{~m}$ ，长为 $O A=8 \mathrm{~m}$ ，最高处点 $P$ 到地面的距离 $P Q$ 为6m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $y=a(x-h)^2+k$ ，其中 $y(\mathrm{~m})$ 表示抛物线上任一点到地面 $O A$ 的高度，$x(\mathrm{~m})$ 表示抛物线上任一点到隧道

（1）求抛物线的解析式．
（2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在$2 \mathrm{~m}-2.55 \mathrm{~m}$ 之间，高度应在 $3.8 \mathrm{~m}-4.2 \mathrm{~m}$ 之间，小明发现隧道为单行道，一货车 $E F G H$ 沿隧道中线行驶，宽 $F G$为 2.4 m ，货车的最高处与隧道上部的坚直距离 $D E$ 约为 1.3 m ，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定。

一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端 $A$ 处安装了一个喷头向外喷水。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图。以柱子底部为坐标原点，以水平地面为 $x$ 轴，过原点且垂直于 $x$ 轴的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。已知柱子在水面以上的部分 $O A$ 的高度为1．25m，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子1m处达到距水平面最高，且最高为 2.25 m ．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若不计其他因素，当喷泉池的半径为2．8米时，喷出的水流是否会落到池外？

如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部 $O$ 处，以点 $O$ 为原点，水平方向为 $x$ 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 $y=a(x-20)^2+k$ 的一部分，山坡 $O A$ 上有一堵防御墙，其坚直截面为 $A B C D$ ，墙宽 $B C=2$ 米， $B C$ 与 $x$ 轴平行，点 $B$ 与点 $O$ 的水平距离为28米、垂直距离为6米．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为 10 米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部 $B C$ 上（包括端点 $B 、 C$ ），求 $a$ 的取值范围，

某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的。其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $O A$ 上，另一端固定在墙体 $B C$ 上，其横截面有2根支架 $D E, F G$ ，相关数据如图1所示，其中支架 $D E=B C, O F=D F=$ BD，这个大棚用了400根支架．

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后 $C$ 与 $E$ 上升相同的高度，增加的支架单价为 60 元／米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过 32000元。
（1）分别以 $O B$ 和 $O A$ 所在的直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立平面直角坐标系。
①求出改造前的函数解析式．
②当 $C C^{\prime}=1$ 米，求 $G G^{\prime}$ 的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出 $C C^{\prime}$ 的最大值．

某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 $E A G H$ 与矩形 $H G B F$ 面积相等，矩形 $E A G H$ 面积等于矩形 $D E F C$ 面积的二分之一，设 $A D$ 长为 $x \mathrm{~m}$ ，矩形区域 $A B C D$ 的面积为 $y \mathrm{~m}^2$ ．
（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；
（2）当 $x$ 为何值时，$y$ 有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形 $E A G H$ 和矩形 $D E F C$ 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40 元／平方米和20元／平方米，若要使安装成本不超过 30000 元，请直接写出 $x$ 的取值范围．

如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中，$\angle A=90^{\circ}, A B=4 \mathrm{~cm}$ 。动点 $E, F$ 分别从点 $A, B$ 同时出发，点 $E$ 沿折线$A \rightarrow C \rightarrow B$ 向终点 $B$ 运动，在 $A C$ 上的速度为2cm／s，在 $C B$ 上的速度为2 $\sqrt{2} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，点 $F$ 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度沿线段$B A$ 向终点 $A$ 运动，连接 $E F, B E$ ．设运动时间为 $x(\mathrm{~s}), \triangle B E F$ 的面积为 $y\left(\mathrm{~cm}^2\right)(y>0)$ ．
（1）$A E$ 的长为 $\_\_\_\_$cm （用含 $x$ 的代数式表示）。
（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．
（3）当 $\triangle B E F$ 为针角三角形时，直接写出 $x$ 的取值范围．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C=5, B C=6$ ，点 $P 、 Q$ 分别在射线 $C B 、 A C$ 上（点$P$ 不与 $C, B$ 重合），且保持 $\angle A P Q=\angle A B C$ ．
（1）若 $P$ 在线段 $C B$ 上，求证：$\triangle A B P \backsim \triangle P C Q$ ；
（2）设 $B P=x 、 C Q=y$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围．


【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，动点的函数关系式，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用两组对角相等可证 $\triangle A B P \sim \triangle P C Q$ ；
（2）分点 $P$ 在线段 $C B$ 上、在 $C B$ 的延长线上两种情况，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：如图，

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \because \angle A P Q+\angle C P Q=\angle A B C+\angle B A P, \angle A P Q=\angle A B C, \\
& \therefore \angle C P Q=\angle B A P, \\
& \because A B=A C=5, \\
& \therefore \angle B=\angle C, \\
& \therefore \triangle A B P \sim \triangle P C Q .
\end{aligned}\\
&\text {（2）解：当点 } P \text { 在线段 } C B \text { 上时，}\\
&\begin{aligned}
& \because \triangle A B P \sim \triangle P C Q, A B=A C=5, B C=6, B P=x, C Q=y, \\
& \therefore \frac{A B}{P C}=\frac{B P}{C Q}, P C=B C-B P=6-x,
\end{aligned}
\end{aligned}
$$
$\therefore \frac{5}{6-x}=\frac{x}{y}$ ，
解得 $y=-\frac{1}{5} x^2+\frac{6}{5} x(0 < x < 6)$ ；
当点 $P$ 在 $C B$ 的延长线上时，如图 2，

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \because \triangle A B P \sim \triangle P C Q, A B=A C=5, B C=6, B P=x, C Q=y, \\
& \therefore \frac{A B}{P C}=\frac{B P}{C Q}, P C=B C+B P=6+x, \\
& \therefore \frac{5}{6+x}=\frac{x}{y},
\end{aligned}\\
&\text { 解得 } y=\frac{1}{5} x^2+\frac{6}{5} x(x>0) \text {. }
\end{aligned}
$$