二次函数的图像与性质

发布日期 2026/9/22 20:25:12 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

如图，二次函数 $y=a x^2+x-6$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(-3,0), B$ ，下列说法错误的是

$\text{A.}$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ 抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{1}{2},-6\right)$ $\text{C.}$ $A, B$ 两点之间的距离为5 $\text{D.}$ 当 $x>-\frac{1}{2}$ 时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大

二次函数 $y=(x-m)^2+n$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=m x-n$ 的图象不经过

$\text{A.}$ 第一象限 $\text{B.}$ 第二象限 $\text{C.}$ 第三象限 $\text{D.}$ 第四象限

若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+b x+c=0$ 的两个实数根分别为 $x_1=-1, x_2=3$ ，则抛物线 $y=x^2+b x+c$ 的对称轴为直线

$\text{A.}$ $x=1$ $\text{B.}$ $x=-1$ $\text{C.}$ $x=2$ $\text{D.}$ $x=-2$

若函数 $y=\left\{\begin{array}{c}x+1(x < -5) \\ x^2-4 x+7(x \geq-5)\end{array}\right.$ ；当 $0 \leq x \leq 3$ 时，此时该函数的最小值是

$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 7 $\text{D.}$ 52

在二次函数 $y=-x^2+2 x-3$ 的图象中，若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $x$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $x < 1$ $\text{B.}$ $x>1$ $\text{C.}$ $x < -1$ $\text{D.}$ $x>-1$

二次函数 $y=a x^2+b x$ 的图象如图所示，则直线 $y=a x-b$ 不经过的象限是

$\text{A.}$ 第一象限 $\text{B.}$ 第二象限 $\text{C.}$ 第三象限 $\text{D.}$ 第四象限

在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{1}{2} a x+\frac{1}{2} a$ 与二次函数 $y=a x^2-a$ 的图象可能是

$\text{A.}$

$\text{B.}$

$\text{C.}$

$\text{D.}$

二次函数 $y=c x^2-4 x+2 c$ 的图象的最高点在 $x$ 轴上，则 $c$ 的值为

$\text{A.}$ $\sqrt{2}$ $\text{B.}$ $-\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\pm \sqrt{2}$ $\text{D.}$ ±2

填空题

将抛物线 $y=2 x^2$ 先向下平移3个单位再向右平移 $m$ 个单位，所得新抛物线经过点（1，5），则新抛物线与 $y$ 轴交点的坐标

已知抛物线 $L_1: y=x^2+2 k x+k-2$ 的顶点为 $M$ ．
（1）当 $k=2$ 时，抛物线的对称轴是＿；顶点 $M$ 坐标是＿；当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，自变量 $x$ 的取值范围为＿；
（2）若抛物线 $L_1: y=x^2+2 k x+k-2$ 关于直线 $y=-k$ 轴对称后得到新的抛物线 $L_2$ ，其顶点 $M^{\prime}(x, y)$ 。
① 当 $k=-1$ 时，请在图中画出相应的 $L_1, L_2$ 图象；
② 求顶点 $M^{\prime}$ 的纵坐标 $y$ 与横坐标 $x$ 之间的关系式；
③ 直接写出当 $k$ 为何值时，顶点 $M^{\prime}$ 恰好落在 $x$ 轴上．

请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交 $y$ 轴于正半轴

二次函数 $y=x^2-6 x+5$ 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为

已知二次函数 $y=a x^2+b x+2(a < 0)$ ，点 $A\left(k, y_1\right), B\left(6, y_2\right), C\left(k+4, y_1\right)$ 均在该二次函数的图象上，且 $2 < $ $y_2 < y_1$ ，则 $k$ 的取值范围为

函数 $y=x^2-2 a x-2$ 在 $-1 \leq x \leq 4$ 有最小值 -5 ，则实数 $a$ 的值是

已知二次函数 $y=-2 x^2+b x$ ，当 $x < 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $b$ 的取值范围是

如图是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线 $x=1$ ，下列五个结论：（1）$a b c>$ 0 ；② $b^2>4 a c$ ；③ $(a+c)^2-b^2>0$ ；④ $a+b \geq a m^2+b m$（ $m$ 为任意实数）；⑤ $4 a+c < 0$ 。其中，正确结论的序号是 $\_\_\_\_$．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{4} x^2+\frac{3}{2} x+4$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B 、 C$ ，连接 $A B 、 A C$ ．若点 $N$ 在线段 $B C$ 上运动（不与点 $B 、 C$ 重合）．过点 $N$ 作 $N M \| A C$ ，交 $A B$ 于点 $M$ ，当 $\triangle A M N$ 面积最大时，点 $N$ 的坐标为 $\_\_\_\_$。

解答题

如图，二次函数 $y=a x^2-4 a x+3 a(a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（点 $A$在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O B=O C$ ．
（1）求二次函数的解析式．
（2）平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 $\left(m, m^2+2\right)(m \geq 0)$ ，若当 $-1 \leq x \leq 2$ 时函数的最大值为7，求 $m$ 的值．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y=a x^2-(a+1) x(a \neq 0)$ ．
（1）若 $a$ 为整数，二次函数图象过点 $(n, 0)$（其中 $n$ 是正整数），求抛物线的对称轴．
（2）若 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$ 为拋物线上两个不同的点．
①当 $x_1+x_2=4$ 时，$y_1=y_2$ ，求 $a$ 的值．
② 若对于 $x_1>x_2 \geq 2$ ，都有 $y_1>y_2$ ，求 $a$ 的取值范围．

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