为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A品牌的电脑单价比B品牌电脑的单价少1000元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买B品牌电脑多10台．
(1)试求A，B两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买A，B两种品牌的电脑一共40台，且购买B品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的3/5，试求出该公司费用最少的购买方案．

辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该㮴桃上市第 $x$ 天时，日销售量 $P$（单位：$k g$ ）与 $x$ 之间的函数关系为 $P=\left\{\begin{array}{c}12 x(0 < x \leq 15) \\ -36 x+720(15 < x \leq 20)\end{array}\right.$ ，樱桃单价 $y$（单位：元）与 $x$之间的函数关系如图所示．
（1）当 $0 < x \leq 20$ 时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
（2）设日销售额为 $W$ 元，当 $0 < x \leq 15$ 时，求 $W$ 的最大值．

在一条笔直的道路上依次有A,B,C三地，小明从A地跑步到达B地，休息5"min" 后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离s("m")与时间t("min")之间的函数图象如图所示

（1）从 $A$ 地到 $C$ 地的距离为 $\_\_\_\_$m ；
（2）求出 $M N$ 段的函数表达式：
（3）求小明距 $B$ 地 750 m 时所用的时间．

某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工 5 天以来的修路情况，其中 $x$ 表示开工的天数（单位：天），$y$ 表示剩余未修道路长度（单位：千米）。为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择 $y=k x+b(k \neq 0), y=a x^2+b x+c(a \neq 0), y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ ．

（1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
（2）若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．

自2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的＂精准化教学＂．该校计划购买 $A, B$ 两种型号的教学设备，已知 $A$ 型设备价格比 $B$ 型设备价格每台高 $10 \%$ ，用20000元购买 $B$ 型设备的数量比用33000元购买 $A$ 型设备的数量少5台。
（1）求 $A, B$ 型设备每台的价格分别是多少元．
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求 $A$ 型设备的数量不少于 $B$ 型设备数量的 $\frac{1}{4}$ ．设购买 $a$ 台 $A$ 型设备，购买总费用为 $\omega$ 元，求 $\omega$ 关于 $a$ 的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案．

世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护。某市节约用水，采取阶梯分段收费标准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为 $a$ 元／吨，每月应交水费 $y$（元）与用水量 $x$（吨）之间的函数关系如图所示．
（1）填空：$a=$ $\_\_\_\_$；
（2）当用水量 $x$ 超过15吨时，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
（3）若某用户 3 月份交水费 45 元，求该用户 3 月份的用水量．

某次干旱灾情，甲地急需抗旱用水 15 万吨，乙地 13 万吨，现有 $A 、 B$ 两水库决定各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱，已知从 $A$ 水库到甲地 50 千米，到乙地 30 千米；从 $B$ 水库到甲地 60 千米，到乙地 45 千米．
（1）设从 $A$ 水库调往甲地水量为 $x$ 万吨，完成下表，并直接写出 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

（2）若调运水的费用为 200 元／万吨•千米，求调运总费用 $W$ 的最小值．

如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某校八年级的综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午8:00，在甲容器里加满水，此时水面高度为30"cm" ，开始放水后，收集甲容器的水面高度y("cm" )和流水时间x("min" )的部分数据如表：

如图矩形 $A B C D$ 中，$A B=4, B C=6$ ，点 $F$ 为 $B C$ 边上的三等分点 $(C F < B F)$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A \rightarrow D \rightarrow C$ 方向运动，到点 $C$ 停止运动．点 $P$ 的运动速度为每秒 2 个单位长度，设点 $P$ 运动时间为 $x$ 秒，$\triangle A P F$ 的面积为 $y$ ．



（1）请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式并注明自变量 $x$ 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出 $y \leq 6$ 时 $x$ 的取值范围．

2024甲辰龙年前夕，临沂市政府出台《临沂市进一步提振扩大消费的若干政策措施》，提出了14项具体促消费措施，助力消费市场较快恢复。在某社区，王大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱 10 千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8．2元／千克，每多购买1箱，批发价每千克降低 0.2 元。根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元／千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0．5元，每天可多销售1箱。
（1）请求出这种水果批发价 $y$（元／千克）与购进数量 $x$（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，王大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

小明在一段斜坡 $O A-A B$ 上进行跑步训练。在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，距水平地面的高度总为 15 m （在直线 $y=15$ 上运动）。现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知 $A$ 点坐标是 $(30,10)$ ，斜坡 $A B$ 的坡角为 $22.5^{\circ}$ ．

（1）请直接写出小明在斜坡 $O A$ 上的跑步速度．
（2）求 $A B$ 段 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
（3）若小明沿 $O-A-B$ 方向运动，求无人机与小明之间距离不超过 10 m 的时长．（参考数据： $\sin 22.5^{\circ} \approx \frac{5}{13}$ ， $\left.\cos 22.5^{\circ} \approx \frac{12}{13}, \quad \tan 22.5^{\circ} \approx \frac{5}{12}\right)$

请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
树的胸径与树高的关系
胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度．
技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位："cm" ）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据：


根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法：
设树高 $y$ 与胸径 $x$ 的函数关系式为 $y=k x+b(k \neq 0)$ ，将表格中的数据按 $x$ 的值从小到大排序后，均分为两组代入 $y=b x+b(k \neq 0)$ 得到
第一组： $7.2=16 k+b, 8.4=21 k+b, 9=23 k+b$ ；
第二组： $10.7=28 k+b, 11.2=35 k+b, 11.7=42 k+b$ ；
分别将两组中的三个式子相加，得到方程组 $\left\{\begin{array}{c}24.6=60 k+3 b \\ 33.6=105 k+3 b\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=0.2 \\ b=4.2\end{array}\right.$ ，从而得到＂一号＂柳树树高 $y$与胸径 $x$ 的一次函数模型为 $y=0.2 x+4.2$ ，
技术人员只要测量出＂一号＂柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算＂一号＂柳树的高度．

任务：
（1）以上材料中，主要运用的数学思想是 $\_\_\_\_$（从下面的选项中选择两个即可）．
A．模型思想
B．公理化思想
C．统计思想
（2）技术人员在当地收集到＂二号＂柳树的树高 $y$ 与胸径 $x$ 的数据如下：

①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）．
②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为50"cm" ，查阅相关资料发现，此时对应树高超过14"m" 才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好．
【详解】（1）解：主要运用的数学思想是模型思想与统计思想，
故选：AC；
（2）解：（1）设树高 $y$ 与胸径 $x$ 的函数关系式为 $y=k x+b(k \neq 0)$ ，将表格中的数据按 $x$ 的值从小到大排序后，均分为两组代入 $y=k x+b(k \neq 0)$ 得到：
第一组： $4.5=14 k+b, 5.8=18 k+b, 7.55=25 k+b$ ；
第二组： $9.3=32 k+b, 10.75=38 k+b, 12.3=45 k+b$ ．
分别将两组中的三个式子相加，得到方程组 $\left\{\begin{array}{l}17.85=57 k+3 b \\ 32.35=115 k+3 b\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}k=0.25 \\ b=1.2\end{array}\right.$ ，
∴＂二号＂柳树树高 $y$ 与胸径 $x$ 的一次函数模型为 $y=0.25 x+1.2$ ；
（2）当 $x=50$ 时，$y=0.25 \times 50+1.2=13.7 < 14$ ，
∴＂二号＂柳树生长良好．

常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．

【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杜杆原理推导得：
$\left(m_0+m\right) \cdot l=M \cdot(a+y)$ 。其中秤盘质量 $m_0$ 克，重物质量 $m$ 克，秤砣质量 $M$ 克，秤纽与秤盘的水平距离为 $l$ 厘米，秤纽与零刻线的水平距离为 $a$ 厘米，秤陀与零刻线的水平距离为 $y$ 厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定 $m_0=10, M=50$ ，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50 厘米．

任务一：确定 $l$ 和 $a$ 的值。
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $l, a$ 的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $l, a$ 的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出 $l$ 和 $a$ 的值。
任务二：确定刻线的位置。
（4）根据任务一，求 $y$ 关于 $m$ 的函数解析式．