上海交通大学《概率论与数理统计》期末试卷第10套

发布日期 2026/9/17 20:46:52 查看 14 加入组卷查看作者

单选题

在不含大、小王的 52 张扑克中抽取一张牌，记 $A, B$ 分别表示下面两个事件：$A=\{$ 抽取一张 K $\}, B=\{$ 抽取一张黑色牌 $\}$ ，则 $A, B$ 两事件满足。

$\text{A.}$ $A, B$ 两事件相互独立； $\text{B.}$ $A, B$ 两事件不互相独立； $\text{C.}$ $A, B$ 两事件是相关的； $\text{D.}$ $A, B$ 两事件是对立事件．

设每次试验成功的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，重复进行试验，直到第 $n$ 次才取得 $r(1 \leqslant r \leqslant n)$ 次成功的概率为。

$\text{A.}$ $\mathrm{C}_{n-1}^{r-1} p^r(1-p)^{n-r}$ ； $\text{B.}$ $\mathrm{C}_n^r p^r(1-p)^{n-r}$ ； $\text{C.}$ $\mathrm{C}_{n-1}^{r-1} p^{r-1}(1-p)^{n-r+1}$ ； $\text{D.}$ $p^r(1-p)^{n-r}$ ．

设随机事件 $B \subset A$ ，则下面正确的等式是。

$\text{A.}$ $P(\overline{A B})=1-P(A)$ ； $\text{B.}$ $P(\bar{B}-\bar{A})=P(\bar{B})-P(\bar{A})$ ； $\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$ ； $\text{D.}$ $P(A \mid \bar{B})=P(A)$ ．

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}, X_{n+2}, \cdots, X_{n+m}$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的样－本，则统计量 $V=\frac{m \sum_{i=1}^n X_i^2}{n \sum^{n+m} X_i^2}$ 服从的分布是．

$\text{A.}$ $F(m, n)$ ； $\text{B.}$ $F(n-1, m-1)$ ； $\text{C.}$ $F(n, m)$ ； $\text{D.}$ $F(m-1, n-1)$ ．

设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, 0.5^2\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 末知，则概率 $P\left(\sum_{i=1}^{10}\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \geqslant 2.85\right)$ 为 $\left(\right.$ 已知：$\chi_{0.25}^2(9)=11.398, \chi_{0.99}^2(10)=$ 2．558）

$\text{A.}$ 0．99； $\text{B.}$ 0．75； $\text{C.}$ 0．001； $\text{D.}$ 0.25 ．

某柜台每小时光顾的顾客数 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，且该柜台的营业额为 $Y=\frac{1}{2} X^2+2$ 。已知 $P(X=1)=P(X=2)$ ，则该柜台每小时的平均营业额为．

$\text{A.}$ 3； $\text{B.}$ 4； $\text{C.}$ 5； $\text{D.}$ 6 ．

填空题

设 $A, B$ 为两随机事件，已知概率 $P(A)=0.7, P(B)=0.4, P(A \cup B)=$ 0.8 ，则 $P(A \mid \bar{A} \cup B)=$

设总体 $X \sim N\left(\mu, 0.9^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是容量为 9 的简单随机样本，均值 $\bar{x}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信水平为0．95的置信区间是 $\_\_\_\_$．$\left(Z_{0.025}=\right.$ 1．960）

设某手表厂在正常的情况下，生产的表壳的直径服从正态分布 $N(20,1)$ ．为了检查生产状况是否正常，每天要抽查9只表壳。设被抽查表壳直径的平均值为$\bar{X}$ ，当 $|\bar{X}-20| \geqslant 2 / 3$ 时认为当天的生产不正常。该判断准则犯＂弃真＂错误的概率约为 $\_\_\_\_$。（已知：$\Phi(2)=0.9772$ ）

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)= \begin{cases}a x+b, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他，且数学 }\end{cases}$期望 $E(X)=1 / 3$ ，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$，$b=$ $\_\_\_\_$．

设总体 $X$ 的分布律为 $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ 0.5 & p & 0.5-p\end{array}\right)$ ，其中 $\left(0 < p < \frac{1}{2}\right)$ 。已知容量为7的一个样本值为（1，0，2，0，0，2，1），则参数 $p$ 的极大似然估计值为

设随机变量 $X, Y$ 相互独立，二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律及其边缘分布中的部分数值如下．则 $P\left(X=x_1, Y=y_1\right)=$ $\_\_\_\_$；$P\left(X=x_2, Y=y_3\right)=$

解答题

独立地测量一个物理量，记每次测量的结果为 $X=\mu+\varepsilon$ ，其中 $X$ 是物理量的真值，$\varepsilon$ 是测量产生的随机误差，且已知每次测量产生的随机误差都服从区间$(-1,1)$ 上的均匀分布。如果取 $n$ 次测量结果的算术平均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 作为真值 $\mu$ 的近似值，求：
（1）当 $n=36$ 时，试用切比雪夫不等式，估计 $|\bar{X}-\mu| < \frac{1}{6}$ 的概率；
（2）试用中心极限定理判断，若要求 $|\bar{X}-\mu| < \frac{1}{6}$ 的概率大于 0.95 ，则至少应进行多少次测量？$(\Phi(1.96)=0.975)$

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
3 y, & 0 < y < 1,0 < x < y, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \text { 又设随机变量 } Z=X-Y\right. \text {, 求: }
$$

（1）$Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ ；
（2）条件密度函数 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ．

设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为：$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{8} x, & 0 \leqslant x \leqslant 4, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 又设

$$
Y=\left\{\begin{array}{ll}
1, & X \leqslant 2, \\
0, & X>2,
\end{array} \quad Z= \begin{cases}1, & X>1, \\
0, & X \leqslant 1 .\end{cases}\right.
$$
（1）求随机变量 $Y$ 与 $Z$ 的联合分布律和边缘分布律；
（2）讨论 $Y, Z$ 的相关性与独立性．

设有两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是 0.03 ，第二台机床出废品的概率是 0.02 ，加工出来的零件混放在一起。已知第一台机床加工的零件比第二台机床加工的零件多一倍。
（1）求任意取出的一个零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的一个零件经检査后发现是废品，求它是第二台机床加工的概率．

设 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是取自总体 $X$ 的样本，且 $X$ 的密度函数为

$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\theta}{x^{0+1}}, & x>1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \text { 其中 } \theta>1\right. \text {. }
$$

试求：
（1）参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ ；
（2）参数 $\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}_I$ ．

食品检查机构对某食品厂待出售的火腿肠中亚硝酸钠的含量进行抽查．已知随机检查了 36 份，经计算，样本均值 $\bar{x}=16.23$ ，样本方差 $s^2=3.52$ 。假设亚硝酸钠在火腿肠中的含量服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 。试判断，能否认为其方差为 $\sigma^2=$3 ？$(\alpha=0.05)\left(\chi_{0.975}^2(35)=20.569, ~ \chi_{0.125}^2(35)=53.203\right)$

证明题

（1）试叙述，何为参数的点估计量的无偏性和有效性？
（2）设 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是取自正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2, \quad S_2^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 .
$$

已知 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。证明：$S_1^2$ 比 $S_2^2$ 有效。

设某测距仪器对目标所测得的长度 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，现对目标独立测量 $n$次，测得的长度分别为 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2)$ 。记 $X_i$ 与 $X_j$ 为其中任意两次测得的长度．
（1）试求：数学期望 $E\left(\left|X_i-X_j\right|\right), i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n$ ；
（2）证明：$E\left(\min \left(X_i, X_j\right)\right)=\mu-\frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}, i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n$ 。