一元二次方程及其应用

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一元二次方程及其应用

发布日期 2026/9/12 19:08:57 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

下列方程中是一元二次方程的是

$\text{A.}$ $2 x^2-x+1=0$ $\text{B.}$ $2 x^2-y=0$ $\text{C.}$ $3 x+1=0$ $\text{D.}$ $x+\frac{1}{x}=2$

若 $x=a$ 是方程 $x^2+2 x-2=0$ 的一个根，则代数式 $2 a^2+4 a+2019$ 的值为

$\text{A.}$ 2021 $\text{B.}$ 2022 $\text{C.}$ 2023 $\text{D.}$ -2023

关于 $x$ 的方程 $4 x^2-4 x=-1$ 的根的情况是

$\text{A.}$ 有两个相等的实数根 $\text{B.}$ 有两个不相等的实数根 $\text{C.}$ 只有一个实数根 $\text{D.}$ 无实数根

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+b x+1=0$ 有两个相等的实数根，则满足条件的实数 $b=$

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ －1或1 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ －2或2

已知关于 $x$ 的方程 $2 x^2-6 k=0$ 有两个相等的实数根，则 $k^2-4$ 的值为

$\text{A.}$ -3 $\text{B.}$ －4 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ －5

已知关于 $x$ 的方程 $x^2+3 x+a=0$ 有一个根为 -2 ，则另一个根为

$\text{A.}$ －10 $\text{B.}$ －1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ －5

已知 $m 、 n$ 是一元二次方程 $x^2+x-2025=0$ 的两个实数根，则代数式 $m^2+2 m+n$ 的值等于

$\text{A.}$ 2025 $\text{B.}$ 2024 $\text{C.}$ 2023 $\text{D.}$ 2021

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出 $x$ 个小分支，则可列方程为

$\text{A.}$ $1+x+x^2=73$ $\text{B.}$ $(1+x)^2=73$ $\text{C.}$ $x+x^2=73$ $\text{D.}$ $1+(1+x)+(1+x)^2=73$

被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为1000cm^2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为

$\text{A.}$ $(38-2 x)(23-2 x)=874$ $\text{B.}$ $(38+2 x)(23+2 x)=874$ $\text{C.}$ $(38-2 x)(23-2 x)=1000$ $\text{D.}$ $(38+2 x)(23+2 x)=1000$

＂八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意＂。每年中秋节前是购买月饼的高峰期，2024年中秋节前期某商场在销售一种月饼时发现，如果以 20 元／ kg 的单价销售，则每天可售出 100 kg ，如果销售单价每增加 0.5元，则每天的销售量会减少 2 kg 。该商场为使每天的销售额达到 1800 元，销售单价应为多少？设销售单价应为 $x$ 元／kg，依题意可列方程为

$\text{A.}$ $(20+x)(100-2 x)=1800$ $\text{B.}$ $(20+x)\left(100-\frac{2 x}{0.5}\right)=1800$ $\text{C.}$ $x\left(100-\frac{x-20}{0.5} \times 2\right)=1800$ $\text{D.}$ $x[100-2(x-20)]=1800$

填空题

若 $\left\{\begin{array}{l}x=3 a \\ y=-b\end{array}\right.$ 是方程 $2 x+y=5$ 的一个解，则代数式 $a^2+b+50$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 $\_\_\_\_$．（写一个即可）

若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6 x+m=0$ 有实数根，且 $m$ 为正整数，请写出一个合适的 $m$ 值

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2 m x+m^2=4$ 有两个根 $x_1 、 x_2\left(x_2>x_1\right)$ ，且满足 $x_1=2 x_2+3$ ，则 $m$ 的值为

解答题

解方程：$y(y-3)+2 y-6=0$ ．

小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程 $2 x^2-8 x+3=0$ 的过程如下：

（1）小明的解题过程从第 $\_\_\_\_$步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程 $2 x^2-8 x+3=0$ 。

收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话

请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在＂六一＂收到红包的年增长率是多少？

阅读与思考
下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务：
小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于80%，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
（3）若每天销售所得利润为 1200 元，那么销售单价应定为多少元？
任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是 $\_\_\_\_$；
A．公理化思想
B．统计思想
C．函数思想
D．分类思想

任务二：请帮助小明解决相关的3个问题．

我国古代著作《四元玉鉴》记载＂买椽多少＂问题：＂六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽＂，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？

｜伊斯兰数学家塔比•伊本•库拉（ThabitibnQurra，830－890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于 $x$ 的方程 $x^2+m x=n$ ，其中 $A B F E$ 为长方形，$A B C D$ 为正方形，且 $D E=m, B F \times C D=n$ ，则几何图形中的某条线段就是方程 $x^2+m x=n$ 的一个正根，则这个方程的正根是线段 $\_\_\_\_$

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