分式方程及应用

发布日期 2026/9/11 19:40:23 查看 0 加入组卷查看作者

单选题

下列式子是分式方程的是

$\text{A.}$ $\frac{x+1}{2}=\frac{5}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{3 x-1}+\frac{4 x}{3 x+1}$ $\text{C.}$ $\frac{x}{2 x-1}+\frac{3}{2 x+1}=1$ $\text{D.}$ $\frac{3-x}{4}+2=\frac{x-1}{3}$

对于实数 $a 、 b$ ，定义一种新运算＂$\varnothing$＂为：$a \otimes b=\frac{1}{a-b^2}$ ，这里等式右边是实数运算。例如： $1 \otimes 3=\frac{1}{1-3^2}=-\frac{1}{8}$ 。则方程 $x \otimes(-2)=\frac{2}{x-4}-1$ 的解是

$\text{A.}$ $x=5$ $\text{B.}$ $x=6$ $\text{C.}$ $x=7$ $\text{D.}$ 无解

若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x-1}+1=-\frac{2}{x-1}$ 无解，则 $a$ 的值为

$\text{A.}$ －1 $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ －2

若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x}{x-1}-3=\frac{m}{1-x}$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $m < -2$ 且 $m \neq-3$ $\text{B.}$ $m>-2$ 且 $m \neq 3$ $\text{C.}$ $m>-3$ 且 $m \neq-2$ $\text{D.}$ $m>-3$ 且 $m \neq 2$

若关于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-a \leq-1 \\ \frac{x+1}{2}-\frac{2 x}{3} < 1\end{array}\right.$ 有且只有两个偶数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y+4}{y-2}=2-\frac{y+6}{2-y}$ 有解，则所有满足条件的整数 $a$ 的和是

$\text{A.}$ 15 $\text{B.}$ 10 $\text{C.}$ 5 $\text{D.}$ 3

新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了＂云南第一路＂新篇章。小杰家到大理约240km，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1．5倍，所需时间比原来缩短了1h，设原来小杰自驾去大理的平均速度是$x \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，根据题意，下列方程正确的是

$\text{A.}$ $\frac{240}{2.5 x}-\frac{240}{x}=1$ $\text{B.}$ $\frac{240}{x}-\frac{240}{1.5 x}=1$ $\text{C.}$ $\frac{240}{2.5 x}+\frac{240}{x}=1$ $\text{D.}$ $\frac{240}{x}+\frac{240}{1.5 x}=1$

填空题

分式方程 $1-\frac{1}{x}=\frac{x}{x-1}$ 的解为

化学小组欲将100"g" 浓度为98%的酒精溶液稀释为75%的酒精溶液．设需要加水x"g" ，根据题意可列方程为

已知 $x=1$ 是分式方程 $\frac{x-3}{x-2}-\frac{a}{2-x}=-1$ 的解，则实数 $a$ 的值为

解答题

（1）先化简，再求值：$(a-3 b)(a+3 b)+(a-3 b)^2$ ，其中 $a=-3, b=\frac{1}{3}$ ．
（2）小丁和小迪分别解方程 $\frac{x}{x-2}-\frac{x-3}{2-x}=1$ 过程如下：

你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打＂$\sqrt{ }$＂，如果错误，请写出正确的解答过程

某文创店，最近一款印有＂保卫里＂的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍。
（1）求该店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的 $\frac{4}{5}$ 后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？

石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道 AB 上，机器人甲从端点 A 出发，匀速往返于端点 A、B 之间，机器人乙同时从端点 B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 B、A 之间。他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的＂迎面相遇＂包括面对面相遇、在端点处相遇这两种。

【观察】
（1）观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 $\_\_\_\_$个单位长度．
（2）若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 35 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 $\_\_\_\_$个单位长度．

【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度，兴趣小组成员发现了 y 与 x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 OP，不包括点 O，如图2所示）
（1） $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$；
（2）分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．

【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是 $\_\_\_\_$．（直接写出结果）

2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额增长 $12.3 \%$ ，其中餐饮收入增长 $12.5 \%$ ．现有 $A 、 B$ 两家餐饮店，$B$ 餐饮店的人均消费金额比 $A$ 餐饮店多 10 元，在 $A$ 餐饮店总消费金额为 500 元的人数与在 $B$ 餐饮店总消费金额为 600 元的人数相同，分别求 $A$ 、 $B$ 两家餐饮店的人均消费金额。

意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大量的分式方程问题。有一个＂分钱问题＂是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同。求第一次分钱的人数。请根据题中的叙述，求出第一次分钱的人数．

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