计算行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 1 & 2^3 & 3^3 & 4^3 & 5^3 \\ 1 & 2^5 & 3^5 & 4^5 & 5^5\end{array}\right|$ 的值．
（1）叙述向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性相关与线性无关的定义；
（2）设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关，而向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r, \beta$ 线性相关，证明：$\beta$ 可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 唯一线性表示。
设 $X_1, \ldots, X_t$ 是非齐次线性方程组 $A X=b$ 的 $t$ 个解，证明：$k_1 X_1+\cdots+k_t X_t$ 是 $A X=b$ 的解 $\Leftrightarrow k_1+\cdots+k_t=1$ 。
设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 为某个实线性空间 $V$ 中的 $n$ 个向量，其秩为 $r \geq 1$ ，且 $n-r \geq 1$ ，设 $W=$ $\left\{\left(k_1, \ldots, k_n\right)^T \in R^n \mid k_1 \alpha_1+\cdots+k_n \alpha_n=0\right\}$ ．
证明：（1）$W$ 为 $R^n$ 的一个子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．
设（I ）： $1, x, x^2$, （II ）：$(x-2)(x-3),(x-1)(x-3),(x-1)(x-2)$ 是线性空间 $R[x]_3$ 的两组基，求：
（1）从基（ I ）到基（II）的过渡矩阵；
（2）从基（II）到基（I ）的过渡矩阵；
（3）设 $p(x)=1+x+x^2$ ，求 $p(x)$ 在基（II）下的坐标．
设 $\alpha, \beta$ 是 $n$ 维欧氏空间的两个互异向量，$\|\alpha\|=\|\beta\|=1$ ，证明：$(\alpha, \beta) \neq 1$
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，如果有 $n$ 阶实矩阵 $B$ ，使得 $A B^T+B A$ 的所有特征值为正实数，证明：$A$ 可逆。