设 $D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{21} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 1} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|$ ，
试证明：$\left|\begin{array}{cccc}a_{11}+b_1 & a_{11}+b_2 & \ldots & a_{1 n}+b_n \\ a_{21}+b_1 & a_{21}+b_2 & \ldots & a_{2 n}+b_n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1}+b_1 & a_{n 1}+b_2 & \ldots & a_{n n}+b_n\end{array}\right|=D+\sum_{j=1}^n b_j \sum_{i=1}^n A_{i j}$ ．
其中 $A_{i j}$ 为 $D$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式．
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 是某个线性空间中的4个向量．试证明：$\beta-\alpha_1, \beta-$ $\alpha_2, \beta-\alpha_3$ 线性无关当且仅当 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。
设 $A$ 是一个 $n(n \geq 2)$ 阶方阵，试求所有满足 $A^*=A$ 的方阵 $A$ ，其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。
求向量组 $\alpha_1=(6,4,1,-1,2)^T, \alpha_2=(1,0,2,3,-4)^T, \alpha_3=(1,4,-9,-16,22)^T, \alpha_4=$ $(7,1,0,-1,3)^T$ 的一个极大线性无关组和秩．
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & \omega^2\end{array}\right)$ ，其中数 $\omega \neq 1$ 且 $\omega^3=1$ ，令 $V=\{f(A) \mid f$ 为复系数一元多项式 $\}$ 。
（1）试证明 $V$ 关于矩阵的加法和数乘运算构成复数域 $\mathbb{C}$ 上的一个线性空间；
（2）试求线性空间 $V$ 的一组基和维数．
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & 4 \\ 0 & 0 & 3.5 & -1.5 \\ 0 & 0 & 5 & -2\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量；
（2）问是否存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵？若存在，求出 $P$ ；若不存在，请说明理由；
（3）请问是否存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵？若存在，求出 $Q$ ；若不存在，请说明理由。
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，试证明 $A$ 半正定当且仅当 $\forall c>0, c E+A$ 正定．
设 $A$ 为可逆的 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，且有 $A B=B A$ ，试证明：$A-B$ 可逆．