《高等数学》第一学期期中考试试卷

发布日期 2026/9/7 19:00:42 查看 25 加入组卷查看作者

单选题

当 $x \rightarrow 0$ 时，与 $x$ 等价的无穷小量是。

$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x \tan x$ ； $\text{B.}$ $\sin 2 x$ ； $\text{C.}$ $\sqrt{4+x}-2$ ； $\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{2} x$ ．

函数 $\frac{x^2-2 x+1}{x^3-x} \sin \pi x$ 的可去间断点有。

$\text{A.}$ 0 个； $\text{B.}$ 1 个； $\text{C.}$ 2 个； $\text{D.}$ 3 个．

设 $f(x)=x \mathrm{e}^x$ ，则 $f^{(n)}(x)=$ ．

$\text{A.}$ $(1+n x) \mathrm{e}^x$ ； $\text{B.}$ $(x+n) \mathrm{e}^x$ ； $\text{C.}$ $(1+n) x \mathrm{e}^x$ ； $\text{D.}$ $n(x+1) \mathrm{e}^x$ ．

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域中有定义，且 $f(0)=0$ ．下列选项哪个成立时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导？。

$\text{A.}$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^3\right)}{x}$ 存在； $\text{B.}$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^2\right)}{x}$ 存在； $\text{C.}$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^x-1\right)}{x}$ 存在； $\text{D.}$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\cos x-1)}{x^2}$ 存在．

设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，$a_1 \in \mathbf{R}, a_{n+1}=f\left(a_n\right), n \in \mathbf{Z}^{+}$．关于下列两个结论：
（1）若 $f(x)$ 严格单增且有上界，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛；
（2）若 $f(x)$ 严格单减且有界，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛；
正确的选项是。

$\text{A.}$ 仅（1）正确； $\text{B.}$ 仅（2）正确； $\text{C.}$ （1）（2）都正确； $\text{D.}$ （1）（2）都错误。

填空题

设 $f(x)=\left[\frac{1}{1+|x|}\right]$（其中 $[x]$ 是取整函数），$g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \neq 1 \\ 0, x=1\end{array}\right.$ ，则方程$g(f(x))=0$ 的解集为

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2-2}}-\frac{1}{\sqrt{n^2-3}}-\cdots-\frac{1}{\sqrt{n^2-n}}\right)=$

若 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+t^5 \\ y=\mathrm{e}^t \sin t\end{array}\right.$ 所确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$

已知 $y=\arccos (\cos x), x \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，则 $\mathrm{d} y=$

已知 $x^3-3 x^2-9 x+m=0$ 有三个实根，则常数 $m$ 的取值范围为

解答题

用极限定义证明： $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-\arctan x}{1-x^2}=\infty$ ．

求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\ln \left(\frac{\ln x-1}{\ln x+1}\right)}$ ．

求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x^2} \sin ^2 x-\tan ^2 x}{x^2 \ln ^2(1+x)}$ ．

已知 $f(x)=\sqrt{1+x}+\arcsin \frac{1-x}{1+x^2}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．

已知可微函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=-y \mathrm{e}^x+2 \mathrm{e}^y \sin x-7 x$ 所确定，求$y^{\prime \prime}(0)$ ．

全面讨论函数 $y=5 x+\frac{32 x}{x^2-1}$ 的性态，并作出它的图形．

$$
\left[y^{\prime}=5-\frac{32\left(x^2+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}, y^{\prime \prime}=\frac{64\left(x^3+3 x\right)}{\left(x^2-1\right)^3}\right]
$$

从半径为 $R$ 的圆中截去一个扇形，使得余下部分卷起的漏斗容积最大，那么截去的扇形与圆的面积之比是多少？

证明题

已知函数 $f(x)=\max \left(\mathrm{e}^{-x}, \frac{1}{2} x^2+1\right)$ ，求证：
（1）当 $x \in(-1,0)$ 时， $\mathrm{e}^{-x}>\frac{1}{2} x^2+1$ ；
（2）若函数 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，且 $g(x) \geqslant f(x)$ ，则 $g(0)>1$ ．