《高等数学》第二学期期末考试16

发布日期 2026/9/7 18:12:05 查看 5 加入组卷查看作者

单选题

曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-z^2=1 \\ z=x y\end{array}\right.$ 在点 $(1,2,2)$ 处的切线方程为。

$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+2 z=2 \\ 2 x+y-z=1\end{array}\right.$ ； $\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2 z=2 \\ 2 x-y+z=1\end{array}\right.$ ； $\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2 z=1 \\ 2 x+y-z=2\end{array}\right.$ ； $\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2 z=1 \\ 2 x-y-z=2\end{array}\right.$ ．

设 $L$ 为圆周 $x^2+y^2+2 y=0$ ，则 $\oint_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s=$ 。

$\text{A.}$ $8 \pi$ ； $\text{B.}$ $4 \pi$ ； $\text{C.}$ $2 \pi$ ； $\text{D.}$ $\pi$ ．

$n$ 是球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外法向量，$r=(x, y, z)$ ，则$\oint_{\Sigma} \frac{\cos (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})}{|\boldsymbol{r}|^2} \mathrm{~d} S=$ 。

$\text{A.}$ $4 \pi$ ； $\text{B.}$ $3 \pi$ ； $\text{C.}$ $2 \pi$ ； $\text{D.}$ $\pi$ ．

级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{2^n n!}$ 的和为。

$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}+1$ ； $\text{B.}$ $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}-1$ ； $\text{C.}$ $\mathrm{e}^{-1}$ ； $\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．

下列命题中，正确命题的个数为。
（1）幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_n x^n$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^n$ 的收敛半径相同；
（2）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} a_n$ 绝对收敛；
（3）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都发散，且 $a_n \leqslant c_n \leqslant b_n(n=1,2, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 也发散．

$\text{A.}$ 0； $\text{B.}$ 1； $\text{C.}$ 2； $\text{D.}$ 3.

填空题

设 $f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且 $f(3 x, x)=x^3-x, f_2(3 x, x)=x^2$ ，则$f_1(3 x, x)=$

向量场 $\boldsymbol{F}=\left(x-y^2, 2 x y-z^2, x z-z\right)$ 的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}=$

微分方程 $\left(2 x+\mathrm{e}^x \cos y\right) \mathrm{d} x+\left(3-\mathrm{e}^x \sin y\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解为

$\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^1 x y \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y=$

设 $f(x)=\sqrt{1+4 x^2}$ ，则 $f^{(2015)}(0)=$

解答题

设方程 $\mathrm{e}^z+x^2-y^2+3 z=1$ 确定了隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

设 $f(x, y)=x^2+2 y^2$ ，求 $f(x, y)$ 的梯度，及 $f(x, y)$ 在圆周 $C$ ：$(x-1)^2+y^2=1$ 上的方向导数的最大值．

计算 $\oint_L \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^2+y^2}$ ，式中 $L$ 是以 $A(a, b), B(-a, b)$ ，$E(-a,-b), F(a,-b)$ 为顶点的逆时针方向的矩形边界 $(a, b>0)$

物质曲面 $S: z=x^2+y^2(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的面密度为 $\frac{x+y+2 z}{\sqrt{1+4 x^2+4 y^2}}$ ，求 $S$ 的质量．

计算 $\iint_{\Sigma} 3 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z-y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x+y^2+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中曲面 $\Sigma$ 是锥面 $z= \sqrt{x^2+y^2} \quad(1 \leqslant z \leqslant 2)$ ，取下侧．

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ 的和．

将 $f(x)=\arctan \frac{x+3}{x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，并求 $f^{(2 n+1)}(0)(n=0,1$ ， $2, \cdots)$ ．

如果对收敛于 0 的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n$ 都收敛，
（1）证明：对任何正数 $\alpha$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\alpha}$ 绝对收敛；
（2）请猜测级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是否绝对收敛，并证明猜测所得结论．