上海交通大学《概率论与数理统计》第九套

发布日期 2026/9/2 15:57:13 查看 7 加入组卷查看作者

单选题

当事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时 $C$ 也发生，则下列式子中成立的是．

$\text{A.}$ $P(C)=P(A \cap B)$ ； $\text{B.}$ $P(C) \leqslant P(A)+P(B)-1$ ； $\text{C.}$ $P(C)=P(A \cup B)$ ； $\text{D.}$ $P(C) \geqslant P(A)+P(B)-1$ ．

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且具有相同的分布：$\left(\begin{array}{ccc}X & \text { 或 } Y: & -1 \\ P: & 0.5 & 0.5\end{array}\right)$ ；则等式：（I）$X=Y$ ；（II）$X+Y=2 X$ ；（III） $\max (X, Y)=X$ ；（IV） $\min (X, Y)=X$中成立的个数是．

$\text{A.}$ 0； $\text{B.}$ 1； $\text{C.}$ 2； $\text{D.}$ 3.

设 $(X, Y) \sim f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1 / \pi, & x^2+y^2 < 1 \\ 0, & \text { 其他 },\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Y$ 为

$\text{A.}$ 独立同分布的随机变量； $\text{B.}$ 独立不同分布的随机变量； $\text{C.}$ 不独立同分布的随机变量； $\text{D.}$ 不独立也不同分布的随机变量．

已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布：$X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 3^2\right)$ ，设$p_1=P(X \geqslant \mu+4), p_2=P(Y \leqslant \mu-3)$ ，则．

$\text{A.}$ 只对 $\mu$ 的某些值，有 $p_1=p_2$ ； $\text{B.}$ 对任意实数 $\mu$ ，有 $p_1 < p_2$ ； $\text{C.}$ 对任意实数 $\mu$ ，有 $p_1>p_2$ ； $\text{D.}$ 对任意实数 $\mu$ ，有 $p_1=p_2$ 。

在假设检验中，显著性水平 $\alpha$ 是指。

$\text{A.}$ $P$（拒绝 $H_0 \mid H_0$ 真）$=\alpha$ ； $\text{B.}$ $P$（拒绝 $H_0 \mid H_1$ 真）$=\alpha$ ； $\text{C.}$ $P$（接受 $H_0 \mid H_0$ 假）$=\alpha$ ； $\text{D.}$ $P$（接受 $H_0 \mid H_1$ 假）$=\alpha$ ．

填空题

两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率是 $1 / 9$ ，且 $A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等，则 $P(A)=$

设随机变量 $X$ 的密度函数 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $Y=\mathrm{e}^{2 X}$ 的密度函数$f_Y(y)=$

设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \sigma^2 ; \mu_2, \sigma^2 ; \rho\right)$ ，则当 $\rho=$ $\_\_\_\_$时，$(X+Y) / 2$ 与$(X-2 Y) / 3$ 不相关．

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足：$E(X)=-E(Y)=-2, D(Y)=4 D(X)=4$ ，$\rho=-0.5$ ，由切比雪夫不等式估计 $P(|X+Y| \geqslant 6)$

设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_{16}\right)$ 是来自正态总体 $N(0,4)$ 的简单随机样本，当 $\alpha=$ $\_\_\_\_$时，统计量 $Y=a \sum_{i=1}^{16} X_i^2$ 服从自由度为 $\_\_\_\_$的 $\_\_\_\_$分布。

设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，从中随机抽取一个容量为15的样本，得到样本均值 $\bar{x}=50$ ，样本方差 $S^2=25$ ，则 $\sigma^2$ 的置信度为0．95的置信区间是
$\_\_\_\_$．$\left(\chi_{0.025}^2(14)=26.119, \chi_{0.975}^2(14)=5.629\right)$

解答题

某种产品分正品和次品，次品不许出厂．出厂的产品 4 件装一箱，检验前每箱中装入 0，1，2，3，4件正品是等可能的，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，试求：
（1）取出的一件是正品的概率；
（2）在（1）发生时这一箱里没有次品的概率．

一个工人看管三台机床，在 1 h 内机床不需要工人照看的概率：第一台为 0.9 ，第二、三台分别为0．8和0．7，假设各台机床是否需要工人照看是相互独立的．求在 1 h 内需要工人照看的机床台数 $X$ 的概率分布，以及 $X$ 的方差 $D(X)$ 。

设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立且同分布的随机变量，它们的密度函数为 $f(x)=$ $\begin{cases}10 / x^2, & x>10, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
试求：$Z=X / Y$ 的分布函数 $F_Z(z)$ ．

设总体 $X$ 服从拉普拉斯分布 $f(x, \lambda)=\frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}},-\infty < x < \infty$ ，其中$\lambda>0$ ．若取得样本值 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，试求：
（1）$E(|X|)$ ；
（2）参数 $\lambda$ 的极大似然估计值 $\hat{\lambda}$ ；
（3）$\hat{\lambda}$ 是否为参数 $\lambda$ 的一致估计值？请说明理由．

设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自标准正态总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本，令 $Y$ $=\bar{X}^2-S^2 / n$ ，其中 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 。计算：
（1）$E(Y)$ ；
（2）$D(Y)$ ．

某自动机床加工车轴，根据要求车轴直径的方差不应超过 $0.1 \mathrm{~cm}^2$ 。为检验自动机床的工作精度，从加工后的车轴中随机抽取 25 件产品，测得数据如下：

设车轴直径服从正态分布．检验机床是否达到所要求的精度（方差越小精度越高）？

$$
(\alpha=0.05)
$$

设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自指数分布总体 $X$ 的样本，

$$
X \sim f(x)= \begin{cases}\theta^{-1} \mathrm{e}^{-r \theta^{-1}}, & x>0, \quad(\theta>0) . \\ 0, & x \leqslant 0,\end{cases}
$$

证明：$Y=n X_{(1)}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计．（其中：$X_{(1)}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ ）