一次方程及其应用

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一次方程及其应用

发布日期 2026/8/31 16:09:51 查看 7 加入组卷查看作者

单选题

设 $a, b, c$ 为互不相等的实数，且 $a=\frac{3}{7} b+\frac{1}{7} c$ ，则下列结论正确的是

$\text{A.}$ $a>b>c$ $\text{B.}$ $c>b>a$ $\text{C.}$ $a-b=6(b-c)$ $\text{D.}$ $a-c=3(b-2 a)$

关于 $x$ 的一元一次方程 $2 x^{a-2}-2+m=4$ 的解为 $x=1$ ，则 $a+m$ 的值为

$\text{A.}$ 9 $\text{B.}$ 8 $\text{C.}$ 7 $\text{D.}$ 5

若方程 $x^{2 a-b}-3 y^{a+b}=2$ 是关于 $x 、 y$ 的二元一次方程，则 $a b$ 的值为

$\text{A.}$ $\frac{2}{9}$ $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ $\frac{3}{2}$ $\text{D.}$ 1

若关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}5 x+4 y=a \\ a x+b y=c\end{array}\right.$ 无解，则

$\text{A.}$ $5 a=4 c$ $\text{B.}$ $4 a=5 b$ $\text{C.}$ $4 a=5 c$ $\text{D.}$ $5 a=4 b$

地理老师介绍道：长江比黄河长 836 千米，黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284 千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为 $x$ 千米，黄河长为 $y$ 千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是

$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{c}x-y=836 \\ 5 x-6 y=1284\end{array}\right.$ $\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{c}x-y=836 \\ 6 x-5 y=1284\end{array}\right.$ $\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{c}x+y=836 \\ 6 y-5 x=1284\end{array}\right.$ $\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{c}x-y=836 \\ 6 y-5 x=1284\end{array}\right.$

填空题

已知关于 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{c}3 x+5 y=m+2 \\ 2 x+3 y=m\end{array}\right.$ ，给出下列结论：（1）$\left\{\begin{array}{c}x=3 \\ y=-4\end{array}\right.$ 是方程组的解；（2）$m=2$ 时， $\mathrm{x}, \mathrm{y}$的值互为相反数；（3）无论 m 的 x，y 都满足的关系式 $x+2 y=2$ ；（4） x ，y 的都为自然数的解有2对，其中正确的为 $\_\_\_\_$。（填正确的序号）

把式子 $-4 x+3$ 记作 $P$ ，式子 $x-6$ 记作 $Q$ ，
（1）当 $x=-3$ 时，$P=$ $\_\_\_\_$，$Q=$ $\_\_\_\_$；
（2）若 $P, Q$ 的值互为相反数，求 $x$ ．

计算：$(-6) \times\left(\frac{2}{3}-\square\right)-2^3$ ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是 $\frac{1}{2}$ ，请计算 $(-6) \times\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)-2^3$ ．
（2）如果计算结果等于 6 ，求被污染的数字．

解答题

解方程组：
（1）$\left\{\begin{array}{l}2 x+y=-5 \\ 4 x-5 y=11\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{2}-\frac{5-y}{3}=1 \\ \frac{x}{0.2}-\frac{y+1}{0.3}=5\end{array}\right.$

阅读下列材料：让我们来规定一种运算：$\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，例如：$\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 1\end{array}\right|=2 \times 1-4 \times 3=-10$ ，再如：$\left|\begin{array}{ll}x & 6 \\ y & 2\end{array}\right|=2 x-6 y$ 。按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
（1）$\left|\begin{array}{cc}-2 & -5 \\ 4 & 3\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$．
（2）当 $\left|\begin{array}{cc}x & 1-x \\ 1 & 2\end{array}\right|=0$ 时，求 $x$ 的值。
（3）将下面式子进行因式分解：$\left|\begin{array}{cc}x^2-2 x & 8 \\ -3 & x^2-2 x-11\end{array}\right|$

阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．

例1：计算： $2016{ }^3-2015 \times 2016 \times 2017$ ．
解：设2016 $=x$ ，则原式 $=x^3-(x-1) \cdot x(x+1)=x^3-x\left(x^2-1\right)=x=2016$ 。
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算： $123456789 \times 123456786-123456788 \times 123456787$ ；
（2）已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 a-3 b=13 \\ 3 a+5 b=30.9\end{array}\right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l}a=8.3 \\ b=1.2\end{array}\right.$ ，则方程组 $\left\{\begin{array}{c}2(x+2)-3(y-1)=13 \\ 3(x+2)+5(y-1)=30.9\end{array}\right.$ 的解是－。

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+b y=2 \\ c x-7 y=8\end{array}\right.$ 时，一学生把 $c$ 看错而得到 $\left\{\begin{array}{c}x=-2, \\ y=2,\end{array}\right.$ 而正确的解是 $\left\{\begin{array}{c}x=3, \\ y=-2,\end{array}\right.$ 那么 $a+b-c=$

已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x-y=7 \\ x+y=a\end{array}\right.$ 和方程组 $\left\{\begin{array}{c}x-y=b \\ 3 x+y=8\end{array}\right.$ 有相同的解，求 $a, b$ 的值．

小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务

任务：
（1）解方程的基本思想是
A．方程思想
B．转化思想
C．数形结合
D．分类讨论
（2）解方程 $\frac{2}{3} x+4=2+x$ 的步骤从第 $\_\_\_\_$步开始出现错误，错误的原因是 $\_\_\_\_$，方程
正确的解为 $\_\_\_\_$．
（3）实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识．例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；

（1）计算：$-(-1)^{2023}+(-2)^3 \times \frac{1}{2}-4 \cos 60^{\circ}$ ；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-3 y=-1, \\ 2 x+3 y=7\end{array}\right.$ 的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令 $\left\{\begin{array}{l}x-3 y=-1(1) \\ 2 x+3 y=7(2)\end{array}\right.$

任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
（1）我选择 $\_\_\_\_$同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是 $\_\_\_\_$；
（2）该同学从第 $\_\_\_\_$开始出现错误，这一步错误的原因是 $\_\_\_\_$；

任务二：直接写出该方程组的正确解；
任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．

为助力环保事业，某企业先将该月销售的 $A$ 款产品所有营收的 $40 \%$ 捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的 $B$ 款产品所有营收的50％，已知该月销售 $A 、 B$ 两款产品共1000个，$A$ 款产品每个售价为100元，$B$ 款产品每个售价为120元，设该月销售 $A$ 款产品 $x$ 个．
（1）该企业第一次捐赠＿元，第二次捐赠＿元；（用含 $x$ 的式子表示）
（2）该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售 $A 、 B$ 两款产品各多少个？

学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买 4 个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．求篮球和足球的单价各是多少元？