记 $\mathbb{R}_3[x]$ 为次数小于等于 3 的所有实系数多项式组成的线性空间，已知
$$
f_1(x)=x^3-x^2, \quad f_2(x)=x^2-x, \quad f_3(x)=x-1, \quad f_4(x)=1
$$
是 $\mathbb{R}_3[x]$ 的一组基，则 $x^3$ 在这组基下的坐标为
设 $\mathcal{A}$ 是三维欧氏空间上的第二类正交变换，若 $\mathcal{A}$ 有一个辐角为 $\frac{\pi}{2}$ 的复特征值，则线性变换 $\mathcal{A} \circ \mathcal{A}+2 \mathcal{A}$ 的行列式为
平面 $\mathbb{R}^2$ 上的线性变换
$$
\mathcal{A}:\binom{x}{y} \mapsto\left(\begin{array}{cc}
4 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right)\binom{x}{y}
$$
将单位圆 $C$ 映射为椭圆 $E$ ，则椭圆 $E$ 的长短半轴分别为
若线性变换在某组基下的矩阵为
$$
\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & -4 \\
x & -1 & 2 \\
2 & 4 & 1
\end{array}\right)
$$
在另一组基下的矩阵为
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right),
$$
则 $x y=$
设 $V=\mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，记 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ，若 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $\mathcal{A}(M)=M A$ ，则 $\mathcal{A}$在基
$$
\left\{\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\right\}
$$
下的矩阵为
二次型 $Q\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3$ 的规范型为
设 $\mathcal{A}$ 是 $4 n-1$ 维空间上的线性变换，若 $\operatorname{rank}(A)=3 n$ ，则 $\operatorname{rank}\left(A^3\right)$ 的取值范围是
超定线性方程组
$$
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right)
$$
的最小二乘解为