概率与统计的综合问题

【例题精析1】某“双一流”大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（资金3000元）、专业二等奖学金（奖金1500元）和专业三等奖学金（奖金600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图1是该校2022年500名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图2是这500名学生在2022年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图

（1）求这 500 名学生中获得专业三等奖学金的人数．
（2）若将每周课外平均学习时间超过35h的学生称为＂努力型＂学生，否则称为＂非努力型＂学生，画出 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $\alpha=0.001$ 的独立性检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？
（3）若以频率作为概率，从该校任选 1 名学生，记该学生2022年获得的专业奖学金的金额为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望。

附表：

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位：t）和年利润 $z$（单位：千元）的影响．对近 8 年的年宣传费 $x$ ；和年销售量 $y_i(i=1,2, ..., 8)$数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（1）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型？
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x, y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费 $x=49$时，年销售量及年利润的预测值是多少？年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预测值最大？

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的

已知在全班 48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 $\frac{2}{3}$ ．
（1）请将上面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）根据小概率值 $\alpha=0.05$ 的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
（3）现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与均值．

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第2代，$\cdots \cdots$ ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_i(i=0,1,2,3)$ ．
（I）已知 $p_0=0.4, p_1=0.3, p_2=0.2, p_3=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
（II）设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_0+p_1 x+p_2 x^2+p_3 x^3=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X)_{,,} 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p < 1$ ；
（III）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义。