设 $f(x, y)=\frac{2 x^2-y^4}{x^2+y^2}$ ，则 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=$

函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x+y}, & x y \neq 0 \\ 1, & x y=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处指向点 $(1,1)$ 的方向导数为
．

设有二元方程 $x+y^2+\sin (x y)=0$ ，则在 $(0,0)$ 点的某邻域内，此方程
。

设 $F(t)=\iiint_{\Omega_t} f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega_t: 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{t^2-x^2-y^2}(t> 0), f(u)$ 为连续函数，则 $F^{\prime}(t)=$ 。

考虑以下命题，其中正确命题的个数为 。
（1）若可微函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内满足 $f_x(x, y) \equiv 0$ ，则有 $f(x, y)=$ $\varphi(y)$ ；
（2）若 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内的唯一极值，且为极大值，则$f\left(x_0, y_0\right)$ 必为 $f(x, y)$ 在 $D$ 内的最大值；
（3）若函数 $f(x, y)$ 在 $U\left[\left(x_0, y_0\right), \delta\right]$ 内可偏导，且 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 间断，则 $f_x(x, y)$ 与 $f_y(x, y)$ 中至少有一个在 $U\left[\left(x_0, y_0\right), \delta\right]$ 内无界．（其中 $\delta>0$ ）

设 $z=x^y$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(\mathrm{e}, 1)}=$

设 $E=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 < 1\right\} \backslash E_0$ ，其中 $E_0=\{(x, y) \mid y=0(-1 < x < $ $1)\}$ ，则 $E$ 的边界 $\partial E=$

交换二次积分的次序：
$\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y=$

设 $x, y \geqslant 0$ ，且满足条件 $x^2+4 y^2=8$ ，则 $u=x y$ 的最大值为

设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ，则 $\iint_D\left[\sqrt{x^2+y^2}+y \ln (1+\right.$ $\left.\left.\mathrm{e}^{x^2+y^2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$

求极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 2}}\left(e^x+y \sin x\right)^{\frac{1}{x y}}$

设函数 $f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$z=\int_0^{x y} f\left(t, \mathrm{e}^t\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

设函数 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，令 $u=x+y, v=x-y$ ，并取$u, v$ 为新自变量，试变换方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$

$\iint_{x^2+y^2 \leqslant \frac{3}{16}} \min \left\{\sqrt{\frac{3}{16}-x^2-y^2}, 2\left(x^2+y^2\right)\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

$\iiint_{\Omega}(x+y-z)^2 \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega: z \geqslant \sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}, x^2+y^2+(z-2)^2 \leqslant 4$

求锥面 $z^2=(x-1)^2+y^2$ 被柱面 $x^2+z^2=1$ 所截下部分曲面的面积。

过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}10 x+2 y-2 z=27 \\ x+y-z=0\end{array}\right.$ 作曲面 $3 x^2+y^2-z^2=27$ 的切平面，求此 切平面的方程。

已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数 $f(x, y)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的邻域 $U\left(P_0\right)$ 有一阶连续偏导函数 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ ，则对任意 $P(x, y) \in U\left(P_0\right)$ ，存在 $(\xi, \eta) \in U\left(P_0\right)$ ，使得

$$
f(x, y)-f\left(x_0, y_0\right)=f_x(\xi, \eta)\left(x-x_0\right)+f_y(\xi, \eta)\left(y-y_0\right) .
$$


设函数 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^2$ 上具有一阶连续偏导数，且 $f(x, y)$ 在 $D=\{(x, y) \left.x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$ 的边界 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=R^2\right\}$ 上取值为零，其中常数 $R>0$ ．
（1）证明：对任意的 $P(x, y) \in D$ ，存在 $(\xi, \eta) \in D$ ，使得

$$
f(x, y)=\left.\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right) \frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(\xi, \eta)},
$$

其中 $l=\overrightarrow{O P}$ ，而 $O$ 为坐标原点；
（2）证明：$\left|\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi R^3}{3} \cdot \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_x^2+f_y^2}$ ．