列联表与独立性检验

单选题

下面是一个2×2列联表，其中a、b处填的值分别为

$\text{A.}$ 52、54 $\text{B.}$ 54、52 $\text{C.}$ 94、146 $\text{D.}$ 146、94

调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 $r=0.8245$ ，下列说法正确的是

$\text{A.}$ 花瓣长度和花萼长度没有相关性 $\text{B.}$ 花瓣长度和花萼长度呈现负相关 $\text{C.}$ 花瓣长度和花萼长度呈现正相关 $\text{D.}$ 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0．8245

如图所示，给出了样本容量均为 7 的 $A, B$ 两组样本数据的散点图，已知 $A$ 组样本数据的相关系数为 $r_1, B$组数据的相关系数为 $r_2$ ，则

$\text{A.}$ $r_1=r_2$ $\text{B.}$ $r_1 < r_2$ $\text{C.}$ $r_1>r_2$ $\text{D.}$ 无法判定

多选题

对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是

$\text{A.}$ $r_1 < 0$ $\text{B.}$ $r_2>1$ $\text{C.}$ $r_1+r_2>0$ $\text{D.}$ $\left|r_1\right|>\left|r_2\right|$

解答题

【例题精析1】某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总人数的70%，为调查该校学生中考前一周每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的睡眠时间样本数据（单位：小时）．

（1）应收集多少位男生的样本数据？
（2）根据这 300 个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：$(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12]$. 估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过 4 小时的概率；
（3）在样本数据中，有 60 位女生的平均睡眠时间超过 4 小时，请完成中考前一周日均睡眠时间与性别列联表，并判断是否有 $99 \%$ 的把握认为＂该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关＂．

【例题精析1】为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否与性别有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.

已知从这 100 名学生中任选 1 人，爱好音乐的学生被选中的概率为 $\frac{2}{5}$ ．
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表中的数据，判断能否有 $90 \%$ 的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关．

为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，0，20），20，40），40，60），60，80），［80，100］，绘制频率分布直方图如图所示。试验发现小白鼠体内产生抗体的共有120只，其中该项指标值不小于60的有 85 只假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的80只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有40只小白鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，如果对一只小白鼠注射 2 次疫苗，求这只小白鼠产生抗体的概率 $P$ ；
（ii）以（i）中确定的概率 $P$ 作为人体注射 2 次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，当 $X=80$ 时， $P(X)$ 取最大值时人体接种试验的人数 $n$ 及 $E(X)$ ．