成对数据的统计分析

发布日期 2026/8/24 17:02:33 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是

$\text{A.}$ $r_4 < r_2 < 0 < r_1 < r_3$ $\text{B.}$ $r_2 < r_4 < 0 < r_1 < r_3$ $\text{C.}$ $r_2 < r_4 < 0 < r_3 < r_1$ $\text{D.}$ $r_4 < r_2 < 0 < r_3 < r_1$

已知变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y=-0.1 x+1$ ，变量 $y$ 与 $z$ 正相关。下列结论中正确的是

$\text{A.}$ $x$ 与 $y$ 正相关，$x$ 与 $z$ 负相关 $\text{B.}$ $x$ 与 $y$ 正相关，$x$ 与 $z$ 正相关 $\text{C.}$ $x$ 与 $y$ 负相关，$x$ 与 $z$ 负相关 $\text{D.}$ $x$ 与 $y$ 负相关，$x$ 与 $z$ 正相关

对于数据组 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2,3, \ldots, n)$ ，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 $x_i$ 的估计值是 $\hat{y}_i$ ，那么将 $y_i-\hat{y}_i$ 称为相应于点 $\left(x_n, y_i\right)$ 的残差。某工厂为研究某种产品产量 $x$（吨）与所需某种原材料 $y$ 吨）的相关性，在生产过程中收集 4 组对应数据 $(x, y)$ 如下表所示：

根据表中数据，得出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=0.7 x+a$ ，据此计算出样本点 $(4,3)$ 处的残差为 -0.15 ，则表中 $m$ 的值为

$\text{A.}$ 3.3 $\text{B.}$ 4.5 $\text{C.}$ 5 $\text{D.}$ 5.5

若需要刻画预报变量 $w$ 和解释变量 $x$ 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量 $w$ 随着解释变量 $x$ 的增大而减小，并且随着解释变量 $x$ 的增大，预报变量 $w$ 大致趋于一个确定的值，为拟合 $w$ 和 $x$ 之间的关系，应使用以下回归方程中的（ $b>0, e$ 为自然对数的底数）

$\text{A.}$ $w=b x+a$ $\text{B.}$ $w=-b \ln x+a$ $\text{C.}$ $w=-b \sqrt{x}+a$ $\text{D.}$ $w=b e^{-x}+a$

已知变量的关系可以用模型 $y=k e^{m x}$ 拟合，设 $z=\ln y$ ，其变换后得到一组数据如下．由上表可得线性回归方程 $z=3 x+a$ ，则 $k=$

$\text{A.}$ $e^{-3}$ $\text{B.}$ $e^{-2}$ $\text{C.}$ $e^2$ $\text{D.}$ $e^3$

多选题

下列命题正确的是

$\text{A.}$ 若变量 $x$ 与 $y$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=1.5 x-2$ ，则 $x$ 与 $y$ 负相关 $\text{B.}$ 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好 $\text{C.}$ 样本相关系数 $r$ 的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强 $\text{D.}$ 回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 恒过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，且至少过一个样本点

为研究需要，统计了两个变量x ，y 的数据情况如下表

其中数据 $x_1, x_2, x_3, \mathrm{~L}, x_n$ 和数据 $y_1, y_2, y_3, \mathrm{~L}, y_n$ 的平均数分别为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，并且计算相关系数 $r=-0.8$ ，经验回归方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ ，则下列结论正确的为

$\text{A.}$ 点 $(\bar{x}, \bar{y})$ 必在回归直线上，即 $\bar{y}=\hat{b} \bar{x}+\hat{a}$ $\text{B.}$ 变量 $x, y$ 负线性相关 $\text{C.}$ 当 $x=x_1$ ，则必有 $\hat{y}=y_1$ $\text{D.}$ $\hat{b} < 0$

已知两个变量X，Y的数据如下表

其中数据 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 和数据 $y_1, y_2, y_3, \mathrm{~L}, y_n$ 的平均数分别为 $\bar{x}, \bar{y}$ ，并且计算得相关系数 $r=0.93$ ，经验回归方程为 $y=\hat{b} x+\hat{a}$ ，则

$\text{A.}$ 变量 $X, Y$ 负相关 $\text{B.}$ $\hat{b}>0$ $\text{C.}$ $\bar{y}=\hat{b} \bar{x}+\hat{a}$ 一定成立 $\text{D.}$ $y_3=\widehat{b} x_3+\widehat{a}$ 一定成立

解答题

某科技公司研发了一项新产品A，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价 $x$（千元）和销售量 $y$（千件）之间的一组数据如下表所示：

（1）试根据1至5月份的数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0．65千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物．为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集 6 家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型（1）：$\hat{y}^{(1)}=-1.65 x+28.57$ ，模型（2）：$\hat{y}^{(2)}=\frac{26.67}{x}+13.50$ ，对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：

（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；
（2）视残差 $e_{\imath}$ 的绝对值超过1．5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程．

纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为1~5

（1）由上表数据可知，可用指数函数模型 $y=a \cdot b^x$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（ $a, b$ 的值精确到0．1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆；
（2）从表中数据可以看出 2018～2022 年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过 80％，说明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018～2022年中各随机选取1个年份（可以重复选取），记取到满足 $y-z>0.8$ 的年份的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

参考数据：