直线与抛物线

发布日期 2026/8/23 10:53:06 查看 4 加入组卷查看作者

多选题

已知抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $K$ 为抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点，过点 $K$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $M 、 N$ ，则

$\text{A.}$ $k_{F M}+k_{F N}=0$ $\text{B.}$ 存在一点 $Q$ 为 $M N$ 中点，使得 $|F Q|=2$ $\text{C.}$ 存在这样的直线 $l$ 使 $\angle M K F=45^{\circ}$ 成立 $\text{D.}$ $|F M|+|F N|>4$

已知直线 $l: x=t y+2$ 与抛物线 $C: y^2=8 x$ 交于$A, B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点是 $M(m, 2)$ ，则

$\text{A.}$ $t=\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $m=3$ $\text{C.}$ $|A B|=8$ $\text{D.}$ 点 $(-2,2)$ 在以 $A B$ 为直径的圆内

填空题

已知 $A, B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上两点，以 $A, B$ 为切点的抛物线的两条切线交于点 $P$ ，过点 $A, B$ 的直线斜率为$k_{A B}$ ，若点 $P$ 的横坐标为 $\frac{1}{3}$ ，则 $k_{A B}=$

解答题

已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，圆 $E: x^2+(y+1)^2=2 p$ ，过 $C$ 上一点 $M\left(1, y_0\right)$ 作 $C$ 的切线，该切线经过点 $N\left(0,-\frac{1}{4}\right)$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若与 $C$ 相切的直线 $l$ ，与 $E$ 相交于 $P, Q$ 两点，求 $\triangle F P Q$ 面积的最大值．

已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
（2）设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．

已知抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l: y=2 x+a$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（1）若 $a=-1$ ，求 $\triangle F A B$ 的面积；
（2）若抛物线 $C$ 上存在两个不同的点 $M, N$ 关于直线 $l$ 对称，求 $a$ 的取值范围．

如图，已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 和点 $P(5,-2)$ ，点 $P$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 6 ．
（1）求抛物线 $C$ 的标准方程；
（2）过点 $P$ 作直线 $l_1$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $Q$ 为抛物线 $C$ 上的一点且始终满足$|A B|=2|Q M|$ ，过点 $Q$ 作直线 $l_2 \perp l_1$ 交抛物线 $C$ 于另一点 $D, N$ 为线段 $Q D$ 的中点，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，记 $\triangle O N F$ 的面积为 $S_1, \triangle O M F$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1+S_2$ 的最小值．