抛物线及其性质

点赞 (0) 收藏 (0) 评论 (0)

抛物线及其性质

发布日期 2026/8/23 10:19:44 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

已知抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-1$ 的距离为 3 ，则 $|M F|=$

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 7

已知抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 上的点 $M(m, 2 \sqrt{p})$ 到其焦点的距离为 4 ，则 $p=$

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4

已知 $\triangle A B C$ 的顶点在抛物线 $y^2=2 x$ 上，若抛物线的焦点 $F$ 恰好是 $\triangle A B C$ 的重心，则 $|F A|+|F B|+|F C|$ 的值为

$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 5 $\text{D.}$ 6

若抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$ 上一点 $M(m, 3)$ 到焦点的距离是 $5 p$ ，则 $p=$

$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{3}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{4}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{2}{3}$

已知抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，与 $x$ 轴平行的直线与 $l$ 和抛物线 $C$ 分别交于 $A, B$ 两点，且$\angle A F B=60^{\circ}$ ，则 $|A B|=$

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$ $\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$ $\text{D.}$ 4

已知抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，若点 $Q(6,3)$ ，则 $\triangle P Q F$ 周长的最小值为。

$\text{A.}$ 13 $\text{B.}$ 12 $\text{C.}$ 10 $\text{D.}$ 8

若 $F$ 是抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点，$P$ 是抛物线 $C$ 上任意一点，$P F$ 的最小值为 1 ，且 $A, B$ 是抛物线 $C$上两点，线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 2 ，则 $|A F|+|B F|=$

$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 5 $\text{D.}$ 6

设 $F$ 为抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，点 $N$ 在准线 $l$ 上，且 $M N$ 平行于 $x$ 轴，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$ ，若 $|N F|=2|E F|$ ，则梯形 $E F M N$ 的面积为

$\text{A.}$ 12 $\text{B.}$ 6 $\text{C.}$ $12 \sqrt{3}$ $\text{D.}$ $6 \sqrt{3}$

已知抛物线 $y^2=a x$ 的焦点为 $(1,0)$ ，则此抛物线的方程为

$\text{A.}$ $y^2=2 x$ $\text{B.}$ $y^2=4 x$ $\text{C.}$ $y^2=-2 x$ $\text{D.}$ $y^2=-4 x$

清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有＂温润＂＂淡远＂＂清新＂的特征。如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6．25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）

$\text{A.}$ 5cm $\text{B.}$ 6cm $\text{C.}$ 7cm $\text{D.}$ 8．25cm

下列关于抛物线 $y=2 x^2$ 的图象描述正确的是

$\text{A.}$ 开口向上，焦点为 $\left(0, \frac{1}{8}\right)$ $\text{B.}$ 开口向右，焦点为 $\left(0, \frac{1}{8}\right)$ $\text{C.}$ 开口向上，焦点为 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ $\text{D.}$ 开口向右，焦点为 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C: y^2=8 x, P$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，线段 $O P$ 的垂直平分线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $\angle O A P=120^{\circ}$ ，则四边形 $O A P B$ 的周长为

$\text{A.}$ $64 \sqrt{3}$ $\text{B.}$ 64 $\text{C.}$ $80 \sqrt{3}$ $\text{D.}$ 80

已知抛物线 $y=\frac{1}{4} X^2$ 的焦点为 $F$ ，点 $B(1,3)$ ，若点 $A$ 为抛物线任意一点，当 $|A B|+|A F|$ 取最小值时，点 $A$的坐标为

$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$ $\text{B.}$ $\left(1, \frac{1}{4}\right)$ $\text{C.}$ $(1,4)$ $\text{D.}$ $(4,1)$

已知 A 是抛物线 $y^2=8 x$ 上一动点，$B$ 是圆 $C:(x-5)^2+y^2=1$ 上一点，则 $|A B|$ 的最小值为

$\text{A.}$ $2 \sqrt{6}$ $\text{B.}$ $4 \sqrt{3}-1$ $\text{C.}$ $2 \sqrt{6}-1$ $\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$

过抛物线 $y=x^2$ 的焦点 $F$ 的一条直线交抛物线于 $P 、 Q$ 两点若线段 $P F$ 与 $Q F$ 的长分别是 $p 、 q$ ，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 为定值

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4

已知点 $P(4,-2)$ 在抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的准线上，过点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则直线$A B$ 的方程为

$\text{A.}$ $x-y+2=0$ $\text{B.}$ $2 x-y+2=0$ $\text{C.}$ $3 x-y+2=0$ $\text{D.}$ $x-2 y+4=0$

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若抛物线 $C: y^2=2 p x$ 的准线与圆 $M:(x+1)^2+y^2=1$ 相切于点 A ，直线 $A B$ 与抛物线 $C$ 切于点 $B$ ，直线 $A B$ 的方程为

$\text{A.}$ $x+y+2=0$ $\text{B.}$ $x-y+2=0$ $\text{C.}$ $x+y+2=0$ 或 $x-y+2=0$ $\text{D.}$ $x+2 y+2=0$ 或 $x-2 y+2=0$

已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F, M\left(x_0, y_0\right)$ 为 $C$ 上一动点，曲线 $C$ 在点 $M$ 处的切线交 $y$ 轴于 $N$点，若 $\angle F M N=30^{\circ}$ ，则 $\angle F N M=$

$\text{A.}$ 60° $\text{B.}$ 45° $\text{C.}$ 30° $\text{D.}$ 15°

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ ，弦 $A B$ 过焦点，$\triangle A B Q$ 为阿基米德三角形，则 $\triangle A B Q$ 的面积的最小值为

$\text{A.}$ $\frac{p^2}{2}$ $\text{B.}$ $p^2$ $\text{C.}$ $2 p^2$ $\text{D.}$ $4 p^2$

多选题

抛物线 $y^2=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线上，若 $|P F|=5$ ，则点 $P$ 的坐标为

$\text{A.}$ $(3,2 \sqrt{6})$ $\text{B.}$ $(3,-2 \sqrt{6})$ $\text{C.}$ $(-3,2 \sqrt{6})$ $\text{D.}$ $(-3,-2 \sqrt{6})$

已知抛物线 $C$ 的焦点在直线 $x+2 y+3=0$ 上，则抛物线 $C$ 的标准方程为

$\text{A.}$ $y^2=12 x$ $\text{B.}$ $y^2=-12 x$ $\text{C.}$ $x^2=-6 y$ $\text{D.}$ $x^2=6 y$

阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0), M$ 是抛物线 $C$ 上的动点，焦点 $F\left(\frac{1}{2}, 0\right), N(4,2)$ ，下列说法正确的是

$\text{A.}$ $C$ 的方程为 $y^2=x$ $\text{B.}$ $C$ 的方程为 $y^2=2 x$ $\text{C.}$ $|M F|+|M N|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ $\text{D.}$ $|M F|+|M N|$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$

已知抛物线 $C: y^2=4 x, O$ 为坐标原点，点 $P$ 为直线 $x=-2$ 上一点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $\mathrm{A}, B$ ，则

$\text{A.}$ 抛物线的准线方程为 $x=-1$ $\text{B.}$ 直线 $A B$ 一定过抛物线的焦点 $\text{C.}$ 线段 $A B$ 长的最小值为 $4 \sqrt{2}$ $\text{D.}$ $O P \perp A B$

$M$ 为抛物线 $C: x^2=4 y$ 上的动点，动点 $N$ 到点 $(0,2)$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}|N F|$（F 是 $C$ 的焦点），则

$\text{A.}$ $|M N|$ 的最小值为 $3-\sqrt{2}$ $\text{B.}$ $|M F|+|N F|$ 最小值为 $3-\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $|M N|+|M F|$ 最小值为 $4-\sqrt{2}$ $\text{D.}$ $|N F|+\sqrt{2}|M N|$ 最小值为 $2 \sqrt{2}$

填空题

已知 $F$ 是抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点，$M$ 是 $C$ 上一点，$F M$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$ ，若 $\overrightarrow{F M}=2 \overrightarrow{M N}$ ，则 $|F N|=$

已知点 $\mathrm{A}, B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|A B|=6$ ，e $M$ 过点 $\mathrm{A}, B$ 且与直线 $x+3=0$ 相切，若存在定点 $P$ ，使得当 A 运动时，$|M A|-|M P|$ 为定值，则点 $P$ 的坐标为