直线与双曲线

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直线与双曲线

发布日期 2026/8/22 20:22:54 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

直线 $y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)$ 与双曲线 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$ 交点的个数是

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 4

过点 $P(1,1)$ 作直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$ 交于点 $A, B$ ，若 $P$ 恰为 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的条数为

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 不能确定

多选题

过双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{4}=1$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $A$ ，则

$\text{A.}$ 双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y= \pm 2 x$ $\text{B.}$ 点 $F_1$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为 4 $\text{C.}$ 直线 $l$ 的斜率 $k$ 取值范围是 $\{k \mid-2 < k < 2\}$ $\text{D.}$ 若 $A F_1$ 的中点在 $y$ 轴上，则直线 $l$ 的斜率 $k= \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

填空题

双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点 $F_2$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$

已知双曲线 $C: x^2-y^2=-1$ ，过 $P(2,1)$ 作直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $P$ 为弦 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程为

已知双曲线 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线交两渐近线于 $x$ 轴上方的不同两点 $C, D$ ，且 $|O D|=2|O C|$ ，则 $k=$

解答题

已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2 \sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$ ，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线$M A_1$ 与 $N A_2$ 交于点 $P$ ．证明：点 $P$ 在定直线上．

已知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率 $e=\sqrt{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求该双曲线方程．
（2）是否定存在过点 $P(1,1)$ 的直线 $l$ 与该双曲线交于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点，且点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点若存在，请求出直线 $l$ 的方程，若不存在，说明理由．

已知双曲线 $x^2-y^2=8$ 截直线 $y=7 x+k$ 所得的弦 $|P Q|$ 的长为 $\frac{25 \sqrt{2}}{6}$ ．
（1）求 $k$ 的值；
（2）若 $x$ 轴上有一点 $M$ ，使V $Q M$ 的面积为 $\frac{70}{3}$ ，求点 $M$ 的坐标．

已知点 $F_1 、 F_2$ ，为双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 作垂直于 $x$ 轴的直线，在 $x$ 轴的上方交双曲线 $C$ 于点 $M$ ，且 $\angle M F_1 F_2=30^{\circ}$ ．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $(0,1)$ 且与双曲线 $C$ 交于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点，若 $\mathrm{A} 、 B$ 中点的横坐标为 1 ，求直线 $l$ 的方程；
（3）过双曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为 $P_1 、 P_2$ ，求证： $\overrightarrow{P P}_1 \cdot \overrightarrow{P P_2}$ 为定值．

已知双曲线 $C$ 以 $2 x \pm \sqrt{5} y=0$ 为渐近线，其上焦点 $F$ 坐标为 $(0,3)$ ．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）不平行于坐标轴的直线 $l$ 过 $F$ 与双曲线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，$P Q$ 的中垂线交 $y$ 轴于点 $T$ ，问 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．