双曲线及其性质

发布日期 2026/8/22 19:50:19 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$ 。过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_2=2$ ，直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为

$\text{A.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$ $\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$ $\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ $\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$

若双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 离心率为 2 ，过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，则该双曲线的方程为

$\text{A.}$ $2 x^2-y^2=1$ $\text{B.}$ $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ $\text{C.}$ $5 x^2-3 y^2=1$ $\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1$

点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为

$\text{A.}$ $\frac{9}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{8}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{6}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{4}{5}$

已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\angle F_1 P F_2=60^{\circ},\left|P F_1\right|=3\left|P F_2\right|$ ，则 $C$ 的离心率为

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{13}}{2}$ $\text{C.}$ $\sqrt{7}$ $\text{D.}$ $\sqrt{13}$

设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ 左支上的动点，$F_1, F_2$ 分别为左右焦点，则 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=$

$\text{A.}$ －4 $\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$ $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ $2 \sqrt{7}$

双曲线 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$ 的两条渐近线的夹角为

$\text{A.}$ $30^{\circ}$ $\text{B.}$ 45° $\text{C.}$ 60° $\text{D.}$ 120°

直线 $3 x-4 y=0$ 与双曲线 $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ 的交点个数是

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 3

设椭圆 $C_1$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$ ，焦点在 $x$ 轴上且长轴长为26，若曲线 $C_2$ 上的点到椭圆 $C_1$ 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 ，则曲线 $C_2$ 的标准方程为

$\text{A.}$ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ $\text{B.}$ $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$ $\text{C.}$ $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ $\text{D.}$ $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{144}=1$

若椭圆 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{t}=1(m>t>0)$ 与双曲线 $\frac{x^2}{n}-\frac{y^2}{t}=1(n>0, t>0)$ 有相同的焦点 $F_1, F_2, P$ 是两曲线的一个交点，则 $\triangle F_1 P F_2$ 的面积是

$\text{A.}$ $\frac{t}{2}$ $\text{B.}$ $t$ $\text{C.}$ $2 t$ $\text{D.}$ $4 t$

过原点的直线 $l$ 与双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），$A C \perp x$ 交 $x$ 轴于 $C$点，直线 $B C$ 交双曲线于点 $D$ ，且 $k_{A B} \cdot k_{A D}=1$ ，则双曲线的渐近线方程为

$\text{A.}$ $y=+2 x$ $\text{B.}$ $y= \pm \frac{1}{2} x$ $\text{C.}$ $y= \pm \sqrt{2} x$ $\text{D.}$ $y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

多选题

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}=1$ ，则下列说法正确的是

$\text{A.}$ 双曲线 $C$ 的实轴长为 2 $\text{B.}$ 若双曲线 $C$ 的两条渐近线相互垂直，则 $m=2$ $\text{C.}$ 若 $(2,0)$ 是双曲线 $C$ 的一个焦点，则 $m=2$ $\text{D.}$ 若 $m=2$ ，则双曲线 $C$ 上的点到焦点距离最小值为2

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $e_1$ ，双曲线 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ 的离心率为 $e_2$ ，则 $e_1+e_2$ 的值不可能是

$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\frac{14}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{5}{2}$

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，左、右顶点分别为 $M, N, O$ 为坐标原点．直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $P, Q$ 两点（不同于右顶点），且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，则

$\text{A.}$ $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 为定值 $\text{B.}$ $|P A|=|B Q|$ $\text{C.}$ 点 $P$ 到两条渐近线的距离之和的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ $\text{D.}$ 存在直线 $l$ 使 $\overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{M Q}=0$

填空题

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{m}-y^2=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ ，则 $C$ 的焦距为

设点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 上，$F_1, F_2$ 为双曲线的两个焦点，且 $\left|P F_1\right|:\left|P F_2\right|=1: 3$ ，则 $\triangle F_1 P F_2$ 的周长等于

已知斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 经过双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 的上焦点 $F$ ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是

已知点 $P$ 是双曲线 $E: \frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上一点，$F_1, F_2$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右焦点，$\triangle P F_1 F_2$ 的周长为 $12+2 \sqrt{5}$ ，则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为

已知双曲线 $E$ 的一个焦点为 $F$ ，点 $F$ 到双曲线 $E$ 的一条渐近线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的距离为 1 ，则双曲线 $E$ 的标准方程是