椭圆的弦长问题、面积问题

发布日期 2026/8/21 16:33:19 查看 2 加入组卷查看作者

单选题

斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最大值为

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{8 \sqrt{10}}{5}$

斜率为 1 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最大值为

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

已知过点 $(0,1)$ 的直线与椭圆 $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ 交于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点，三角形 $O A B$ 面积的最大值是

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ 1

已知 $F$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点，过 $F$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点，若线段$M N$ 的长等于椭圆 $C$ 短轴长的 $\frac{3}{7}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为

$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点分别是 $F_1, F_2$ ，过 $F_1$ 的直线 $l: y=x+m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\triangle A B F_2$的面积是

$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{8}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{16}{9}$ $\text{D.}$ $\frac{32}{9}$

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(4,0)$ ，过点 $F$ 且斜率为 1 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为（3，－1），则 $E$ 的方程为

$\text{A.}$ $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{29}=1$ $\text{B.}$ $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ $\text{C.}$ $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{16}=1$ $\text{D.}$ $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{8}=1$

已知椭圆，点 $F$ 为左焦点，点 $P$ 为下顶点，平行于 $F P$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $\mathrm{A}, B$ 两点，且 $A B$ 的中点为 $M\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则椭圆的离心率为

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

多选题

已知椭圆的方程为 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$ ，斜率为 $k$ 的直线不经过原点 $O$（ $O$ 为坐标原点），且与椭圆相交于 $A, B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论正确的是

$\text{A.}$ 直线 $A B$ 与 $O M$ 垂直 $\text{B.}$ 若点 $M$ 的坐标为 $(1,1)$ ，则直线 $A B$ 的方程为 $2 x+y-3=0$ $\text{C.}$ 若直线 $A B$ 的方程为 $y=x+1$ ，则点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$ $\text{D.}$ 若直线 $A B$ 的方程为 $y=x+2$ ，则 $|A B|=\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

填空题

已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ ，过左焦点 $F$ 作倾斜角为 $\frac{\pi}{6}$ 的直线交椭圆于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为

解答题

椭圆 $C$ 的中心在坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 经过点 $(\sqrt{2}, 0)$ 且短轴长为2。
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）过点 $(2,1)$ 且倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $\mathrm{A}, B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

已知平面内动点 $M$ 到两定点 $E, F$ 的距离之和为 4 ，且 $E, F$ 两点间的距离为 2 ．
（1）以点 $E, F$ 所在的直线为 $x$ 轴，建立适当的坐标系，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程．
（2）直线 $l$ 过点 $F$ ，交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，$A B$ 的中点为 $Q\left(x_Q, y_Q\right)$（咞于坐标原点 $O$ ）．若点 $Q$ 的坐标之和$x_Q+y_Q=\frac{5}{8}$ ，求弦 $A B$ 的长．

已知动点 $P$ 与平面上点 $M(-1,0), N(1,0)$ 的距离之和等于 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（2）若经过点 $E\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $E$ 为 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程．