直线与椭圆

发布日期 2026/8/21 15:50:08 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{3}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，直线 $y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\triangle F_1 A B$ 面积是 $\triangle F_2 A B$ 面积的2倍，则 $m=$ 。

$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\text{D.}$ $-\frac{2}{3}$

直线 $y=k x+1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$ 总有公共点，则 $m$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $(1,+\infty)$ $\text{B.}$ $(0,1) \cup(1,+\infty)$ $\text{C.}$ $[1,5) \cup(5,+\infty)$ $\text{D.}$ $(0,1) \mathrm{U}(1,5)$

若直线 $m x+n y=9$ 和圆 $x^2+y^2=9$ 没有公共点，则过点 $P(m, n)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$ 的交点个数是

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 不确定

已知椭圆 $M: \frac{x^2}{3}+y^2=1$ 的上顶点为 $A$ ，过点 $A$ 且不与 $y$ 轴重合的直线 $l$ 与 $M$ 的另一个交点为 $B\left(x_1, y_1\right)$（其中 $x_1>0$ ），过 $B$ 作 $l$ 的垂线，交 $y$ 轴于点 $C$ ．若 $|B C|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的斜率 $k=$

$\text{A.}$ $-2 \sqrt{3}$ $\text{B.}$ $-\sqrt{3}$ $\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，直线 $y=\frac{1}{2} x+a$ 与椭圆 $E$ 相切，则椭圆 $E$ 的离心率为

$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

多选题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l: k x-y-k=0$ ，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，则下列说法正确的有

$\text{A.}$ $l$ 恒过点 $(1,0)$ $\text{B.}$ 若 $l$ 恒过 $C$ 的焦点，则 $a^2+b^2=1$ $\text{C.}$ 对任意实数 $k, l$ 与 $C$ 总有两个互异公共点，则 $a \geq 1$ $\text{D.}$ 若 $a < 1$ ，则一定存在实数 $k$ ，使得 $l$ 与 $C$ 有且只有一个公共点

填空题

已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且$|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

已知 $F_1, F_2$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，$P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|P Q|=\left|F_1 F_2\right|$ ，则四边形 $P F_1 Q F_2$ 的面积为

与椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 有相同的焦点且与直线 $l: x-y+3=0$ 相切的椭圆的离心率为

已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，过点 $P(2,2)$ 作椭圆 $C_1$ 的切线，则切线方程为

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 为 $C$ 上的动点．若 $\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=4 \sqrt{3}$ ，且点 $P$ 到直线 $x-y+6=0$ 的最小距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的离心率为

解答题

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, A 、 C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点，$B, D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点，$|A C|=4$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y=-2$ 交于点 $N$ ．求证：$M N / / C D$ ．

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_1, A_2$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_1 F\right|=3,\left|A_2 F\right|=1$ ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_1 P Q$ 的面积是三角形 $A_2 F P$面积的二倍，求直线 $A_2 P$ 的方程．

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $M\left(-1, \frac{3}{2}\right)$, 点 $F(1,0)$ 是 $C$ 的一个焦点．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知过点 $P(0,1)$ 的直线 $l$ 交 $x$ 轴于 $Q$ 点，交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $|A P|=|B Q|$ ，求直线 $l$ 的方程．

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左顶点 $A$ 与上项点 $B$ 的距离为 $\sqrt{6}$ 。
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $P$ 点不在 $x$ 轴上，线段 $A P$ 的垂直平分线与 $y$ 轴相交于点 $Q$ ，若 $\triangle P A Q$ 为等边三角形，求点 $P$ 的坐标．

已知动圆 $P$ 过点 $M(-1,0)$ ，且与圆 $N: x^2+y^2-2 x-15=0$ 相切
（1）求圆心 $P$ 的轨迹 $\Omega$ 的方程；
（2）$A, C$ 为轨迹 $\Omega$ 上两个动点且位于第一象限（不在直线 $x=1$ 上），直线 $A N, C N$ 分别与轨迹 $\Omega$ 交于 $B, D$两点，若直线 $A D, B C$ 分别交直线 $x=1$ 与 $E, F$ 两点，求证；$|E N|=|F N|$