求极限： $\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{x \cdot \tan (3 x)}$
计算定积分 $\int_0^4 \frac{3}{4} x^2 \sqrt{4 x-x^2} \mathrm{~d} x$
计算不定积分 $\int \frac{2 x^2}{(x-1)^2\left(x^2+1\right)} \mathrm{d} x$
计算广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-3 x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-3 x}\right)^2} \mathrm{~d} x$
由曲线 $y=x^2(x \geqslant 0)$ 与其在 $x=a$（常数 $\left.a>0\right)$ 处的切线以及 $x$ 轴围成的区域记为 $D$ 。若 $D$ 分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得的两个立体体积相同，求 $a$ 。
已知平面 $\pi$ 与 $z$ 轴所在的直线夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，且 $\pi$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上有相同非零截距，$\pi$ 在 $z$ 轴上也有非零截距．若 $\pi$ 过点 $P\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 1\right)$ ，求平面 $\pi$ 的方程．
设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}(x)+p y^{\prime}(x)+q y(x)=\varphi(x)$ 的解均满足$y(x)=y(x+2 \pi)$ ，且 $\varphi(x)$ 也是该方程的解．若 $\varphi(0)=6$ ，求 $\varphi(x)$ 及该微分方程的通解。