无穷级数

发布日期 2026/8/20 13:55:22 查看 7 加入组卷查看作者

单选题

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 等于

$\text{A.}$ 3. $\text{B.}$ 7 ． $\text{C.}$ 8 ． $\text{D.}$ 9 ．

设 $u_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ，则级数

$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛． $\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散． $\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散． $\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛．

设 $\left\{u_n\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$ ． $\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{u_n}$ ． $\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$ ． $\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^2-u_n^2\right)$ ．

设常数 $\lambda>0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$

$\text{A.}$ 发散． $\text{B.}$ 条件收敛． $\text{C.}$ 绝对收敛． $\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关．

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）

$\text{A.}$ 发散． $\text{B.}$ 条件收敛． $\text{C.}$ 绝对收敛． $\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关

设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

$\text{A.}$ 绝对收敛。 $\text{B.}$ 条件收敛． $\text{C.}$ 发散． $\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 取值有关．

下列级数中发散的是

$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ ． $\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ． $\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$ ． $\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ ．

设 $p_n=\frac{a_n+\left|a_n\right|}{2}, q_n=\frac{a_n-\left|a_n\right|}{2}, n=1,2, \cdots$ ，则下列命题正确的是

$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛。 $\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛． $\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 敛散性都不定。 $\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 敛散性都不定．

设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是

$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛。 $\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。 $\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛。 $\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛，则此级数在 $x=2$ 处

$\text{A.}$ 条件收敛。 $\text{B.}$ 绝对收敛． $\text{C.}$ 发散． $\text{D.}$ 敛散性不能确定。

设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$ ，令 $S(x)=$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=$

$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ ． $\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$ ． $\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$ ．

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\ 2-2 x, & \frac{1}{2} < x < 1\end{array} \right.$
$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty$,其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x,(n=0,1,2, \cdots)$ ，
则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于

$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ ． $\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$ ． $\text{C.}$ $\frac{3}{4}$ ． $\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$ ．

填空题

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3 ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 的收敛区间为

幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^n-(-1)^n}{n^2} x^n$ 的收敛半径为

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n}{2^n}$ 的和为

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n)!} x^n$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi < x \leqslant 0, \\ 1+x^2, & 0 < x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 则其以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数在点$x=\pi$ 处收敛于

解答题

讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性．

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 都收敛，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 绝对收敛．

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域．

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2}$ 的收敛域．

将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ 展开成 $x-1$ 的幂级数，并指出其收敛区间．

将函数 $y=\ln \left(1-x-2 x^2\right)$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间．

将函数 $f(x)=x-1(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展开成周期为 4 的余弦级数．

将函数 $f(x)=2+|x|(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和．