曲线与曲面积分

发布日期 2026/8/19 20:35:16 查看 3 加入组卷查看作者

填空题

设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则$\iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$

设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$

设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_L x y \mathrm{~d} s=$

已知曲线 $L: y=x^2(0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2})$ ，则 $\int_L x \mathrm{~d} s=$

设 $L$ 为取正向的圆 $x^2+y^2=9$ ，则曲线积分 $\oint_L(2 x y-2 y) \mathrm{d} x+\left(x^2-4 x\right) \mathrm{d} y$ 的值是

曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ ，则 $\oint_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d} S=$

设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 围成的空间区域，$\Sigma$ 是$\Omega$ 的整个边界的外侧，则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$

解答题

计算 $I=\iiint_{\mathrm{n}}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^2=2 z, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周形成的曲面与平面 $z=8$

已知点 $A$ 与点 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$ ，线段 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$ ，求由 $S$ 及两平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体体积．

计算曲线积分 $\int_L \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^2-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$到点 $(\pi, 0)$ 的一段

计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心，$R$ 为半径的圆周$(R>1)$ ，取逆时针方向

计算 $I=\oint_I\left(y^2-z^2\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^2-x^2\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^2-y^2\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是平面 $x+y+$ $z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。

设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$