圆与圆的位置关系及圆的综合性问题

发布日期 2026/8/19 17:22:43 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

两圆 $x^2+y^2=9$ 和 $x^2+y^2-8 x+6 y+9=0$ 的位置关系是

$\text{A.}$ 相离 $\text{B.}$ 相交 $\text{C.}$ 内切 $\text{D.}$ 外切

若圆 $x^2+y^2-a x+2 y+1=0$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 关于直线 $y=x-1$ 对称，过点 $C(-a, a)$ 的圆 $P$ 与 $y$ 轴相切，则圆心$P$ 的轨迹方程为

$\text{A.}$ $y^2-4 x+4 y+8=0$ $\text{B.}$ $y^2-2 x-2 y+2=0$ $\text{C.}$ $y^2+4 x-4 y+8=0$ $\text{D.}$ $y^2-2 x-y-1=0$

已知圆 $C:(x-3)^2+(y-4)^2=1$ 和两点 $A(a, 0), B(-a, 0)(a>0)$ ，若圆 $C$ 上至少存在一点 $P$ ，使得 $\angle A P B>90^{\circ}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $(4,6)$ $\text{B.}$ $(4,+\infty)$ $\text{C.}$ $[4,+\infty)$ $\text{D.}$ $(6,+\infty)$

已知直线 $l$ 是圆 $C:(x-2)^2+(y-1)^2=1$ 的切线，并且点 $B(3,4)$ 到直线 $l$ 的距离是 2 ，这样的直线 $l$ 有

$\text{A.}$ 1条 $\text{B.}$ 2条 $\text{C.}$ 3条 $\text{D.}$ 4条

已知圆心均在 $y$ 轴的两圆外切，半径分别为 $r_1, r_2, \frac{r_2}{r_1}=2$ ，则两圆公切线的斜率为

$\text{A.}$ $\pm 2 \sqrt{2}$ $\text{B.}$ $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\text{C.}$ $\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\text{D.}$ $\pm \frac{1}{3}$

如图，在 $x O y$ 平面上有一系列点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right), \ldots, P_n\left(x_n, y_n\right) \ldots$ ，对每个正整数 $n$ ，点 $P_n$ 位于函数$y=x^2(x \geq 0)$ 的图像上，以点 $P_n$ 为圆心的 e $P_n$ 都与 $x$ 轴相切，且 e $P_n$ 与e $P_{n+1}$ 外切．若 $x_1=1$ ，且$x_{n+1} < x_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right), T_n=x_n x_{n+1},\left\{T_n\right\}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_n$ ，则 $S_{20}=$

$\text{A.}$ $\frac{39}{40}$ $\text{B.}$ $\frac{40}{41}$ $\text{C.}$ $\frac{80}{41}$ $\text{D.}$ $\frac{20}{41}$

多选题

已知圆 $O_1: x^2+y^2-2 x-3=0$ 和圆 $O_2: x^2+y^2-2 y-1=0$ 的交点为 $\mathrm{A}, B$ ，则

$\text{A.}$ 圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 有两条公切线 $\text{B.}$ 直线 $A B$ 的方程为 $x-y+1=0$ $\text{C.}$ 圆 $O_2$ 上存在两点 $P$ 和 $Q$ 使得 $|P Q|>|A B|$ $\text{D.}$ 圆 $O_1$ 上的点到直线 $A B$ 的最大距离为 $2+\sqrt{2}$

平面区域 $\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2}\right\}$ 被直线$l: y=(x+2) \tan \theta(0 < \theta < \pi)$ 分成面积相等的两部分，则

$\text{A.}$ $\theta=\frac{\pi}{6}$ $\text{B.}$ $\theta>\frac{\pi}{8}$ $\text{C.}$ $\sin 2 \theta < \frac{\pi}{4}$ $\text{D.}$ $2 \theta+\sin 2 \theta=\frac{\pi}{2}$

填空题

已知圆 $M$ 与圆 $O: x^2+y^2=1$ 内切，且圆 $M$ 与直线 $x=2$ 相切，则圆 $M$ 的圆心的轨迹方程为

若圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $x^2+y^2+2 a x+4 a y-9=0$ 相交，且公共弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $a=$

已知圆 $C_1:(x-2)^2+(y-2)^2=r_1^2\left(r_1>0\right)$ ，圆 $C_2:(x+1)^2+(y+1)^2=r_2^2\left(r_2>0\right)$ ，圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为 7，则 $r_1 r_2$ 为 $\_\_\_\_$．

解答题

已知圆 A ：$(x+2)^2+y^2=9$ ，圆 $B:(x-2)^2+y^2=1$ ，圆 $C$ 与圆 A 、圆 $B$ 外切，求圆心 $C$ 的轨迹方程 $E$ ；

已知圆 $C$ 的圆心为 $(2,-2)$ ，且与直线 $x+y+2 \sqrt{10}=0$ 相切．
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）求圆 $C$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 的公共弦的长．

证明圆 $C_1: x^2+y^2-4 x-16=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2+2 y-4=0$ 内切，并求它们的公切线方程．