多元函数的微分学

发布日期 2026/8/17 10:45:37 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y, & x y \neq 0, \\ x, & y=0, \\ y, & x=0 .\end{array}\right.$ 给出下列结论
（1）$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0.0)}=1$ ．
（2）$\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ．
（3） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ ．
（4） $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$ ．
正确的个数为

$\text{A.}$ 4 ． $\text{B.}$ 3 ． $\text{C.}$ 2 ． $\text{D.}$ 1 ．

设 $f(x, y)$ 具有一阶偏导数，且在任意的 $(x, y)$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$ ，则

$\text{A.}$ $f(0,0)>f(1,1)$ ． $\text{B.}$ $f(0,0) < f(1,1)$ ． $\text{C.}$ $f(0,1)>f(1,0)$ ． $\text{D.}$ $f(0,1) < f(1,0)$ ．

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是

$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微． $\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微． $\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在． $\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在．

二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处

$\text{A.}$ 连续，偏导数存在． $\text{B.}$ 连续，偏导数不存在． $\text{C.}$ 不连续，偏导数存在． $\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在．

已知函数 $f(x, y)=\frac{\mathrm{e}^x}{x-y}$ ，则

$\text{A.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$ ． $\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$ ． $\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$ ． $\text{D.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$ ．

设有三元方程 $x y-z \ln y+\mathrm{e}^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程

$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$ 。 $\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$ 。 $\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$ 。 $\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$ ．

设函数 $u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数，$\psi$ 具有一阶导数，则必有

$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ ． $\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ ． $\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ ． $\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ．

设 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$

$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$ ． $\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$ ． $\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$ ． $\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$ ．

设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 取得极小值，则下列结论正确的是

$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数等于零。 $\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数大于零。 $\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数小于零。 $\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数不存在．

设函数 $z=f(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} z=x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y$ ，那么点 $(0,0)$

$\text{A.}$ 不是 $f(x, y)$ 的连续点。 $\text{B.}$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． $\text{C.}$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． $\text{D.}$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．

二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点是

$\text{A.}$ $(0,0)$ ． $\text{B.}$ （0，3）． $\text{C.}$ $(3,0)$ ． $\text{D.}$ $(1,1)$ ．

填空题

设 $z=\left(x+\mathrm{e}^y\right)^x$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$

设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(z+y)^x=x y$ 确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$

已知 $z=\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$

设 $f(u, v)$ 为二元可微函数，$z=f\left(x^y, y^x\right)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$

函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^2+z^2}\right)$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为

函数 $u=\ln \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 $M(1,2,-2)$ 处的梯度 $\left.\operatorname{grad} u\right|_M=$

解答题

$z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$ ，求 $\mathrm{d} z$

设 $x^2+z^2=y \varphi\left(\frac{z}{y}\right)$ ，其中 $\varphi$ 为可微函数，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$

已知 $x y=x f(z)+y g(z), x f^{\prime}(z)+y g^{\prime}(z) \neq 0$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，求证：$[x-g(z)] \frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)] \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

设 $z=f\left(\mathrm{e}^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。

求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值．

求函数 $u=x y+2 y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=10$ 下的最大值和最小值．

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，销售量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，需求函数分别为 $q_1=24-0.2 p_1$ 和 $q_2=10-0.05 p_2$ ，总成本函数为 $C=35+40\left(q_1+q_2\right)$ 。试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？

已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 z^2=0, \\ x+y+3 z=5 .\end{array}\right.$ 求曲线 $C$ 距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点．