空间向量与解析几何

发布日期 2026/8/17 10:31:29 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0, \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则直线 $L$

$\text{A.}$ 平行于 $\Pi$ ． $\text{B.}$ 在 $\Pi$ 上． $\text{C.}$ 垂直于 II． $\text{D.}$ 与 II 斜交．

设有直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$ 与 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x-y=6, \\ 2 y+z=3,\end{array}\right.$ 则 $L_1$ 与 $L_2$ 的夹角为

$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$ ． $\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$ ． $\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$ ． $\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$ ．

过点 $(1,0,0),(0,1,0)$ 且与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切的平面为

$\text{A.}$ $z=0$ 与 $x+y-z=1$ ． $\text{B.}$ $z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． $\text{C.}$ $x=y$ 与 $x+y-z=1$ ． $\text{D.}$ $x=y$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ．

设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3, f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，则

$\text{A.}$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ． $\text{B.}$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的法向量为 $\{3,1,1\}$ 。 $\text{C.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y), \\ y=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $\{1,0,3\}$ ． $\text{D.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y), \\ y=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $\{3,0,1\}$ ．

函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量 $n=\{1,2,2\}$ 的方向导数为

$\text{A.}$ 12. $\text{B.}$ 6. $\text{C.}$ 4. $\text{D.}$ 2.

函数 $f(x, y)=\arctan \frac{x}{y}$ 在点 $(0,1)$ 处的梯度等于

$\text{A.}$ $i$ ． $\text{B.}$ $-\boldsymbol{i}$ ． $\text{C.}$ $j$ ． $\text{D.}$ $-\boldsymbol{j}$ ．

填空题

设 $(a \times b) \cdot c=2$ ，则 $[(a+b) \times(b+c)] \cdot(c+a)=$

点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=0$ 的距离 $d=$

设一平面经过原点及点（6，－3，2），且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，则此平面方程为

解答题

求曲面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程．

在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．