微分方程

发布日期 2026/8/17 9:59:43 查看 10 加入组卷查看作者

单选题

设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=\mathrm{e}^{3 x}$ 满足初始条 $y(0)=y^{\prime}(0)=$0 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ ，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限

$\text{A.}$ 不存在． $\text{B.}$ 等于 1 ． $\text{C.}$ 等于 2 ． $\text{D.}$ 等于 3 ．

若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+\ln 2$ ，则 $f(x)$ 等于

$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x \ln 2$ ． $\text{B.}$ $\mathrm{e}^{2 x} \ln 2$ ． $\text{C.}$ $\mathrm{e}^x+\ln 2$ ． $\text{D.}$ $\mathrm{e}^{2 . r}+\ln 2$ ．

已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为

$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$ ． $\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$ ． $\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$ ． $\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$ ．

设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是对应的齐次方程的解，则

$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ． $\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ． $\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$ ． $\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．

设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是

$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ ． $\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ ． $\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$ ． $\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$ ．

若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$ 是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=$ $q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$

$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$ ． $\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$ ． $\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$ ． $\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$ ．

已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha$ ，且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\alpha$ 是$\Delta x$ 的高阶无穷小，$y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于

$\text{A.}$ $2 \pi$ ． $\text{B.}$ $\pi$ ． $\text{C.}$ $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ ． $\text{D.}$ $\pi \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ ．

函数 $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-2 x}+x \mathrm{e}^x$ 满足的一个微分方程是

$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^x$ ． $\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^x$ ． $\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^x$ ． $\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^x$ ．

微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为

$\text{A.}$ $y^{\cdot}=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$ ． $\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$ ． $\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$ ． $\text{D.}$ $y^{\cdot}=a x^2+b x+c+A \cos x$ ．

微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y=\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为

$\text{A.}$ $a\left(\mathrm{e}^{\lambda r}+\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ． $\text{B.}$ $a x\left(\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ． $\text{C.}$ $x\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ． $\text{D.}$ $x^2\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．

微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=\mathrm{e}^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=$

$\text{A.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． $\text{B.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． $\text{C.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． $\text{D.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．

具有特解 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_3=3 \mathrm{e}^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是

$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ $\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． $\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． $\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．

填空题

微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$

微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的解为 $y=$

微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为

差分方程 $y_{t+1}-2 y_t=2^t$ 的通解 $y_t=$

解答题

求连续函数 $f(x)$ ，使它满足 $f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x^2$ ．

求微分方程 $x y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=x^2+y^2$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=\mathrm{c}}=2 \mathrm{e}$ 的特解．

求微分方程 $\left(y-x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 的通解．

求微分方程 $x y^{\prime}+y=x \mathrm{e}^x$ 满足 $y(1)=1$ 的特解．

求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=2 \mathrm{e}^{-x}$ 的通解．

求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x^2$ 的通解．

求微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\cos x$ 的通解．

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为 $120^{\circ} C$ 物体在 $20^{\circ} C$ 恒温介质中冷却， 30 min 后该物体温度降至 $30^{\circ} C$ ，若要将物体的温度继续降至$21^{\circ} \mathrm{C}$ ，还需冷却多长时间？

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $S$ 成正比，比例常数 $k>0$ 。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg 表示千克，km／h 表示千米／小时）