空间向量与立体几何

发布日期 2026/8/16 20:26:27 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}=(1,2,0)$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v}$ ，则下列选项中使得 $l \perp \alpha$ 的是

$\text{A.}$ $\vec{v}=(2,-1,0)$ $\text{B.}$ $\vec{v}=(2,1,0)$ $\text{C.}$ $\vec{v}=(2,4,0)$ $\text{D.}$ $\vec{v}=(-1,2,0)$

如图四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，且各棱长均相等，$E$ 是 $P B$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $P C$所成角的余弦值为

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{2}$

填空题

已知空间四点 $A(2,-1,1), B(-1,-1,2), C(-1,0,-1), O(0,0,0)$ ．求平面 $A B C$ 的一个法向量为

解答题

如图，已知三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1, \angle A C B=90^{\circ}, A C_1 \perp A_1 C, D$ 为线段 $A_1 C$ 上的动点，$A C_1 \perp B D$ ．
（1）求证：平面 $A C C_1 A_1 \perp$ 平面 $A B C$ ；
（2）若 $A A_1 \perp A C, D$ 为线段 $A_1 C$ 的中点，$A C=2 B C=2$ ，求 $B_1 D$ 与平面 $A_1 B C$ 所成角的正弦值．

如图 1，已知梯形 $A B C D$ 中，$A B / / C D, E$ 是 $A B$ 边的中点，$D E \perp A B, A B=4 D C=8, D E=2 \sqrt{2}$ ．将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P E \perp E B$ ，如图2，$M, N$ 分别是 $P D, P B$ 的中点．
（1）求平面 $M C N$ 与平面 $B C D E$ 所成二面角的正弦值；
（2）求点 $P$ 到平面 $M C N$ 的距离．

在梯形 $A B C D$ 中，$A B \| C D, \angle D=90^{\circ}, A B=2 \sqrt{2}, A D=D C=\sqrt{2}$ ，如图1．现将 $\triangle A D C$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角 $P-A C-B$ ，如图 2，点 $M$ 在线段 $B P$ 上．
（1）求证：$A P \perp C M$ ；
（2）若点 $M$ 到直线 $A C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{B M}{B P}$ 的值．

如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 1 的正方形，$E D \perp$ 平面 $A B C D, F B \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $E D=F B=1$ ．
（1）求证：$E C \perp$ 平面 $A D F$
（2）在线段 $E C$ 上是否存在点 $G$（不含端点），使得平面 $G B D$ 与平面 $A D F$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，若存在，指出 $G$ 点的位置；若不存在，请说明理由．

如图，正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, E, F$ 分别是$a, b, c$ 的中点．
（1）求证：点 $E, F, C_1, D$ 四点共面；
（2）求异面直线 $E F$ 与 $B C_1$ 所成的角．
（3）求 $E F$ 到平面 $B C_1 D$ 的距离．

证明题

在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A A_1 \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, A B=B C=2, A A_1=1, E$ 为 $B B_1$ 的中点，求证：平面 $A E C_1 \perp$ 平面 $A A_1 C_1 C$ ．

如图，已知正方形 $A B C D$ 和矩形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直，$A B=\sqrt{2}, A F=1, M$ 是线段 $E F$ 的中点．
（1）求证：$A M \perp B D$ ．
（2）求证：$A M \perp$ 平面 $B D F$ ．