空间向量及其运算

发布日期 2026/8/15 15:57:59 查看 2 加入组卷查看作者

单选题

在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 $45^{\circ}$ 的是。

$\text{A.}$ $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}$ $\text{B.}$ $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C^{\prime} A^{\prime}}$ $\text{C.}$ $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}$ $\text{D.}$ $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B^{\prime} A^{\prime}}$

已知四面体 $O-A B C, G_1$ 是 $\triangle A B C$ 的重心，$G$ 是 $O G_1$ 上一点，且 $O G=3 G G_1$ ，若 $\overrightarrow{O G}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}$ ，则 $(x, y, z)$ 为

$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$

平面 $\alpha$ 内有五点 $A, B, C, D, E$ ，其中无三点共线，$O$ 为空间一点，满足 $\overrightarrow{O A}=\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}+x \overrightarrow{O C}+y \overrightarrow{O D}, \overrightarrow{O B}=$ $2 x \overrightarrow{O C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O D}+y \overrightarrow{O E}$ ，则 $x+3 y$ 等于

$\text{A.}$ $\frac{5}{6}$ $\text{B.}$ $\frac{7}{6}$ $\text{C.}$ $\frac{5}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{7}{3}$

已知 $A(4,1,3), B(2,3,1), C(3,7,-5)$ ，点 $P(x,-1,3)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $x=$

$\text{A.}$ 8 $\text{B.}$ 9 $\text{C.}$ 10 $\text{D.}$ 11

已知 $\vec{a}=(2,-1,3), \vec{b}=(-1,4,-2), \vec{c}=(7,5, \lambda)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 三向量共面，则$\lambda$ 等于

$\text{A.}$ $\frac{62}{7}$ $\text{B.}$ 9 $\text{C.}$ $\frac{64}{7}$ $\text{D.}$ $\frac{65}{7}$

已知不共线向量 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}, \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{e_1}-2 \overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3}, \overrightarrow{P Q}=-5 \overrightarrow{e_1}-6 \overrightarrow{e_2}+4 \overrightarrow{e_3}, \overrightarrow{Q R}=7 \overrightarrow{e_1}+2 \overrightarrow{e_2}-2 \overrightarrow{e_3}$ ，则一定共线的三个点是

$\text{A.}$ $O, P, Q$ $\text{B.}$ $P, Q, R$ $\text{C.}$ $O, Q, R$ $\text{D.}$ $O, P, R$

如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 的各棱长均为 2 ，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=$

$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$ $\text{B.}$ $\sqrt{3}$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 2

已知 $\vec{a}=(1,1,0), \vec{b}=(0,1,1), \vec{c}=(1,0,1), \vec{p}=\vec{a}-\vec{b}, \vec{q}=\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$ ，则 $\vec{p} \cdot \vec{q}=$

$\text{A.}$ －1 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ 2

多选题

如图，空间四边形 $O A B C$ 中，$M, N$ 分别是边 $O A, C B$ 上的点，且 $A M=2 M O, C N=2 N B$ ，点 $G$ 是线段$M N$ 的中点，则以下向量表示正确的是

$\text{A.}$ $\overrightarrow{A G}=\frac{5}{6} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{6} \overrightarrow{O C}$ $\text{B.}$ $\overrightarrow{B G}=\frac{1}{6} \overrightarrow{O A}-\frac{2}{3} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{6} \overrightarrow{O C}$ $\text{C.}$ $\overrightarrow{C G}=\frac{1}{6} \overrightarrow{O A}-\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}+\frac{5}{6} \overrightarrow{O C}$ $\text{D.}$ $\overrightarrow{O G}=\frac{1}{6} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{6} \overrightarrow{O C}$

如图，平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ ，其中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是

$\text{A.}$ $\left|\overrightarrow{A C_1}\right|=6 \sqrt{6}$ $\text{B.}$ $\overrightarrow{A C_1} \perp \overrightarrow{B D}$ $\text{C.}$ 向量 $\overrightarrow{B_1 C}$ 与 $\overrightarrow{A A_1}$ 的夹角是 $60^{\circ}$ ． $\text{D.}$ 异面直线 $B D_1$ 与 $A C$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

填空题

空间向量 $\vec{a}=(2,2,-1)$ 的单位向量的坐标是

棱长均为 $a$ 的四面体 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}$ 的值等于

已知 $\vec{a}=(1,0,-1), \vec{b}=(1,-1,0)$ ，单位向量 $\vec{n}$ 满足 $\vec{n} \perp \vec{a}, \vec{n} \perp \vec{b}$ ，则 $\vec{n}=$

如图，平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A D=B D=A A_1=1, A D \perp B D, \angle A_1 A B=45^{\circ}, \angle A_1 A D=60^{\circ}$ ，则线段 $B D_1$ 的长为

解答题

如图所示，在平行六面体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，$A B=A D=A A^{\prime}=1, \angle A^{\prime} A D=\angle A^{\prime} A B=\angle B A D=60^{\circ}$ ，求：
（1）$A C^{\prime}$ 的长；
（2）$B D^{\prime}$ 的长．

已知 $\vec{a}=(1,1,0), \vec{b}=(-1,0,2)$ ，且 $k \vec{a}+\vec{b}$ 与 $2 \vec{a}-\vec{b}$ 的夹角为针角，求实数 $k$ 的取值范围．