求不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$ ．
求不定积分 $\int \frac{3 x+6}{(x-1)^2\left(x^2+x+1\right)} \mathrm{d} x$ ．
设 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 。
计算 $\int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^2 \mathrm{~d} x$ ．
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin 2 x+2 \sin x}$
已知 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x} .$
求不定积分 $\int \mathrm{e}^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$ 。
$\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ ．
$\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{e}^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足 $\int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ．
（I）证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在 $[a, b]$ 上至少存在一个点 $\eta$ ，使得 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\eta)(b-a)$ 。
（II）若 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足 $\varphi(2)>\varphi(1), \varphi(2)>\int_2^3 \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(1,3)$ ，使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi) < 0$ ．
$\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$
设 $A>0, D$ 是由曲线段 $y=A \sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 及直线 $y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，$V_1, V_2$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积．若 $V_1= V_2$ ，求 $A$ 的值．
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成图形面积最小。
求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\cos t \\ y=t-\sin t\end{array}\right.$ 一拱 $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的弧长．
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深 30 m ，抓斗自重 400 N ，缆绳每米重50 N ，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：（1）1N$\times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J}$ ；其中 $\mathrm{m}, ~ \mathrm{~N}, \mathrm{~s}, \mathrm{~J}$ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。）