第47讲向量代数与空间解析几何--测验卷

发布日期 2026/8/14 16:21:24 查看 2 加入组卷查看作者

填空题

向量 $\vec{a}=(2,1,3), \vec{b}=(1,-1,2), \vec{c}=(3,1,-1)$ ，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}=$ $\_\_\_\_$；向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{\vec{b}} \vec{a}=$ $\_\_\_\_$；与向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 都垂直且模长为3的向量为 $\_\_\_\_$；以向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 为相邻 3 边的平行六面体的体积为 $\_\_\_\_$；

空间直线 $\frac{x+1}{2}=y=\frac{z-1}{-1}$ 与平面 $x+2 y+z=0$ 的夹角为

$x O y$ 平面上的曲线 $x^2+y^2-2 x=1$ 绕 $x$ 轴旋转所得曲面的方程为 $\_\_\_\_$；绕 $y$ 轴旋转所得曲面为

直线 $\left\{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\end{array}\right.$ ，（1）若该直线与 $z$ 轴平行，则它的系数必须满足 $\_\_\_\_$；（2）若该直线与 $y$ 轴相交，则有 $\_\_\_\_$

$x O y$ 平面上曲线 $L$ 的方程为 $F(x, y)=0$ ，若将该曲线关于直线 $y+x=0$ 对称得到曲线 $L^{\prime}$ ，则 $L^{\prime}$ 的方程为

解答题

画出下列曲面的草图：
（1）$x^2-y+2 z^2=0$ ；
（2）$x^2-2 y^2+z^2=1$ ；
（3）$x^2+4 x+y^2=0$ ；
（4）$y-z^2+1=0$ ；
（5）$-\frac{x^2}{4}-y^2+\frac{z^2}{2}=1$ ．

向量 $\vec{a}=(2,3,-1), \vec{b}=(1,-2,0)$ ，求向量 $\vec{c}$ ，使得 $\vec{c}$ 的模为 2 ，且以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为相邻三边的四面体的体积最大，并求出该最大的体积．

试求点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x+2 y-z+1=0$ 上的投影点以及关于该平面对称点的坐标．

$A(1,0,0), B(0,1,1)$ 是直线段的两个端点，求该直线段绕 $z$ 轴旋转一周所得曲面与平面$z=0$ 以及 $z=1$ 所围立体的体积。

求过直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\ x-y+2 z=6\end{array}\right.$ 切于球面 $x^2+y^2+z^2+2 z=3$ 的平面方程．

若球面 $x^2+y^2+z^2+D x+E y+F z+G=0$ 与 $x O y$ 平面相切，试求它的方程系数满足的条件．

第47讲 向量代数与空间解析几何--测验卷

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