试求在平面上的曲线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta$ 绕极轴旋转而成的曲面方程．
指出下列各方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？并分别画出它们在空间解析几何中所表示的几何图形：
（1）$-\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ ；
（2）$\frac{x^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1$ ；
（3）$z=2-x^2$ ．
下列方程表示什么曲面？指出这些曲面中哪些是旋转曲面，这些旋转曲面是怎样形成的？并分别画出下列方程所表示的曲面：
（1） $4 x^2+4 y^2-z^2=4$ ；
（2）$x^2-y^2-4 z^2=4$ ；
（3）$\frac{z}{3}=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}$ ．
思考题：（1）如果直线 $l$ 与直线 $l^{\prime}$ 的夹角为 $\theta\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ ，相距为 $a>0$ ．判别直线 $l^{\prime}$ 绕直线 $l$ 旋转所得的曲面 $\Sigma$ 的类型并给出判别的理由；
（2）若直线 $l$ 的方程为：$\frac{x+1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-2}{2}$ ，直线 $l^{\prime}$ 的方程为：$\frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{1}$ ，试求由直线 $l^{\prime}$ 绕直线 $l$ 旋转所得曲面 $\Sigma$ 以及相距为2且垂直于直线 $l$ 的两平面所围立体体积的最小值．
画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）$\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{1-x^2-y^2} \\ y=x\end{array}\right.$ ；
（2）$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=1 \\ x^2+z^2=1\end{array}\right.$ ．
画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）抛物柱面 $x^2=1-z$ ，平面 $y=0, z=0$ 及 $x+y=1$ ；
（2）圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 及旋转拋物面 $z=2-x^2-y^2$ ．
思考题：求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 y^2+z^2+4 x=4 z, \\ y^2+3 z^2-8 x=12\end{array}\right.$ 在各个坐标面上的投影柱面方程，并试着画出曲线的图形．