第42讲微分方程测验卷

发布日期 2026/8/14 15:14:34 查看 0 加入组卷查看作者

单选题

二阶线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+Q(x) y=x^2$ 有三个线性无关解 $y_1 ; y_2 ; y_3$ ，则该微分方程的通解为

$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+C_3 y_3$ 其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数 $\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+y_3$ 其中 $C_1, C_2$ 是任意常数 $\text{C.}$ $C y_1+y_2+y_3$ 其中 $C$ 是任意常数 $\text{D.}$ $\left(1-C_1\right) y_1+C_2 y_2+\left(C_1-C_2\right) y_3$ 其中 $C_1, C_2$ 是任意常数

已知 $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x+C_3 \cos x+C_4 \sin x$ 是某四阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该微分方程为

$\text{A.}$ $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ $\text{B.}$ $y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ $\text{C.}$ $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ $\text{D.}$ $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$

解答题

对于方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(a x+b y+c), b \neq 0$ ．如果令 $u=a x+b y+c$ ，则方程化为

$x+y^2+\mathrm{e}^{C_1 x+y^2}+C_2=0$ 是某二阶微分方程的通解，则该方程满足初始条件 $y(1)=1$ ，$y^{\prime}(1)=-\frac{1}{2}$ 的特解是

已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线 $y=f(x)$ ，我方拦截导弹的阵地位于 $x$ 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的运用轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为 $\left(x_0, y_0\right)$ ，则该点满足的方程为

求微分方程 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1-x+y^2-x y^2, \\ y(0)=1 .\end{array}\right.$

求微分方程 $x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+y=2 \sqrt{x y}$ 的通解．

求方程 $y\left(1+\mathrm{e}^{x / y}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x / y}(y-x) \mathrm{d} y=0$ 的通解．

求下列方程的通解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x^4+y^3}{x y^2}$

求微分方程 $\left(x^2 y^2-1\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x y^3=0$ 的通解．

可导函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=-2 \int_0^{-x} t f(-t) \mathrm{d} t+x^4+1$ ，求函数 $f(x)$ ．

求微分方程 $\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=1, \\ y(1)=y^{\prime}(1)=1\end{array}\right.$ 的解．

求方程 $x^2 \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+4 x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=2 x \ln x$ ．

第42讲 微分方程测验卷

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