一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点 $O$ 处且速度为 $v_0$ ，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比（比例系数 $k_1>0$ ）而方向与初速一致，又介质的阻力与速度成正比（比例系数 $k_2>0$ ），求反映这质点的运动规律的函数．
设圆柱形浮筒，直径为0．5（m），铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为 2 （s），求浮筒的质量（忽略介质的阻力）．
思考题：二阶线性微分方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 中，如果系数 $P(x), Q(x)$ 不是常数，该怎么求解？试一试！
求方程 $x y^{\prime \prime}-2(1+x) y^{\prime}+(2+x) y=0$ 的通解．
求下列各微分方程的通解：
（1）$y^{\prime \prime}-y=\sin ^2 x$ ；
（2）$y^{\prime \prime}+a^2 y=\sin x$（其中常数 $a>0$ ）．
一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m ，另一端离开钉子 12 m ，若不计钉子对链条所产生的摩擦力，求链条滑下来所需要的时间。
设 $y_1=x, y_2=x+\mathrm{e}^{2 x}, y_3=x\left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，试求该微分方程以及该方程的通解．