求微分方程的通解：
（1）$x^2 y^{\prime \prime}=y^{\prime 2}+2 x y^{\prime}$ ；
（2）$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^3+y^{\prime}$ ．
求下列初值问题的解：$y^3 y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ 。
设 $f$ 具有一阶连续导数，满足 $\frac{1}{2} f^{\prime 2}(x)=f(x)+\int_0^x\left[f^{\prime}(t)\right]^3 \mathrm{~d} t$ ，且 $f^{\prime}(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
设有一质量为 $m$ 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为 $R=c^2 v^2$（其中 $c$ 为常数，$v$ 为物体运动的速度），试求物体下落的距离 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系．
如果对任意 $x>0$ ，曲线 $y=y(x)$ 上的点 $(x, y(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于$\frac{1}{x} \int_0^x y(t) \mathrm{d} t$ ，求函数 $y=y(x)$ 的表达式．
思考题：设 $y=y(x)$ 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 $(x, y)$ 处的曲率为 $\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ ，曲线上点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $y=x+1$ ，求该曲线方程，并求函数 $y=y(x)$ 的极值．