$y \ln y \mathrm{~d} x+(x-\ln y) \mathrm{d} y=0$ ．
求微分方程满足所给初始条件的特解：$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ ．
设函数 $y=f(x)(0 \leq x < +\infty)$ 满足条件：
（1）$f(0)=0,0 \leq f(x) \leq \mathrm{e}^x-1$ ；
（2）平行于 $y$ 轴的动直线 $M N$ 与曲线 $y=f(x)$ 和 $y=\mathrm{e}^x-1$ 分别交于点 $P_2$ 和 $P_1$ ；曲线$y=f(x)$ ，直线 $M N$ 和 $x$ 轴所围图形的面积 $S$ 恒等于线段 $P_1 P_2$ 的长度．
求函数 $y=f(x)$ 的表达式．
设 $y=x^2$ 是方程 $x^2 y^{\prime}+P(x) y=3 x^3$ 的一个解，求该方程满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解．
求伯努利方程 $x \mathrm{~d} y-\left[y+x y^3(1+\ln x)\right] \mathrm{d} x=0$ 的通解．
思考题：设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求证：$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=f(x)$ 的所有解当$x \rightarrow+\infty$ 时都趋于 1.