$x y^{\prime}-y-\sqrt{y^2-x^2}=0$
求下列齐次方程满足所给初始条件的特解：
$\left(x^2+2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x+\left(y^2+2 x y-x^2\right) \mathrm{d} y=0,\left.\quad y\right|_{x=1}=1$ ．
设有连结点 $O(0,0)$ 和 $A(1,1)$ 的一段向上凸的曲线弧 $\overparen{O A}$ ，对于 $\overparen{O A}$ 上任一点 $P(x, y)$ ，曲线弧 $\overparen{O P}$ 与直线段 $\overline{O P}$ 所围图形的面积为 $x^2$ ，求曲线弧 $\overparen{O A}$ 的方程．
求微分方程 $y^{\prime}=\frac{y \sqrt{y}}{2 x \sqrt{y}-x^2}$ 的通解。（提示：令 $\sqrt{y}=z$ ）
求解初值问题：$(x-\sin y) \mathrm{d} y+\tan y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{6}$ 。（提示：令 $\sin y=z$ ）
思考题：有四只蜗牛 $A_1 、 A_2 、 A_3 、 A_4$ 分别位于平面上点 $(a, a) 、(-a, a) 、(-a,-a)$ 以及 $(a,-a)(a>0)$ 。若从某时刻开始同时以相同的速度匀速地爬动，并且 $A_1$ 的爬动方向始终指向 $A_2 、 A_2$ 的爬动方向始终指向 $A_3 、 A_3$ 的爬动方向始终指向 $A_4 、 A_4$ 的爬动方向始终指向 $A_1$ ．试求 $A_1$ 从点 $(a, a)$ 开始在第一象限部分的爬行轨迹．