写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线上点 $P(x, y)$ 处的法线与 $x$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $y$ 轴平分．
求下列微分方程的通解： $y^{\prime} \sin x=y \ln y$ 。
设 $f$ 是可导函数，对于任意实数 $p, t$ 有 $f(p+t)=f(p)+f(t)+2 p t$ ，且 $f^{\prime}(0)=1$ ，求$f$ 表达式．
一曲线通过点 $(2,3)$ ，它的两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程．
小船从河边点 $O$ 处出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为 $a$ ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为 $h$ ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 $k$ ），求小船的航行路线．
设 $\varphi(x)$ 连续，且满足 $\int_0^1 \varphi(\alpha x) \mathrm{d} \alpha=n \varphi(x) \quad(n>0)$ ，求 $\varphi(x)$ 。
（提示：作定积分换元 $\alpha x=t$ ）
思考题：求满足 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=|y+1|+|y-1|, y(0)=0$ 的连续解。