第35讲定积分的应用测验卷

发布日期 2026/8/13 16:31:27 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $g(x) < f(x) < m$ ，则曲线 $y=f(x), y=g(x)$ ，$x=a$ 和 $x=b$ 所围成的平面图形绕直线 $y=m$ 旋转而成的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$．

$\text{A.}$ $\pi \int_a^b[2 m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$ $\text{B.}$ $\pi \int_a^b[2 m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$ $\text{C.}$ $\pi \int_a^b[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$ $\text{D.}$ $\pi \int_a^b[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$

如图，曲线段的方程式 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续的导数，则定积分$\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 等于 $\_\_\_\_$．

$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 的面积 $\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 的面积 $\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 的面积 $\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 的面积

填空题

光滑曲线 $L$ 由极坐标方程：$\rho=\mathrm{e}^{\theta^2}(\alpha \leq \theta \leq \beta)$ 确定，则该曲线弧长的计算公式为

由连续曲线 $L: x=g(y)(a \leq y \leq b)$ 与直线 $y=a, y=b$ 以及 $y$ 轴所围曲边梯形的面积为 $\_\_\_\_$，该图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体的体积为

光滑曲线 $L: x=g(y)$ 的线密度为 $\mu(y)(a \leq y \leq b)$ ，该曲线段质量的计算公式为

解答题

求由 $x=\sqrt{y}$ ，直线 $y=4$ 以及 $y$ 轴所围图形的面积，以及该图形绕直线 $y=-1$ 旋转所得旋转体的体积。

求曲线 $y=2 \sqrt{x}$ ，直线 $x+2 y=5$ 以及 $x$ 轴所围图形的面积，及该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积。

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} \ln x(1 \leq x \leq \mathrm{e})$ ．
（1）求曲线 $L$ 的弧长；
（2）设 $D$ 是由曲线 $L$ ，直线 $x=1, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围平面图形，计算 $D$ 的面积．

求由曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=4\left(x^2-3 y^2\right)$ 所围图形的面积．

由方程 $y=2 x^2, y=4$ 所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中，顶端与水面持平（长度单位为米）．
（1）试求薄片一侧所受到的水压力；
（2）如果水面以每分钟 0.5 米的速度开始上涨，试计算薄片一侧所受水压力的变化率．

为了清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30 m ，抓斗自重400 N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000 N，提升的速度为3m／s，在提升的过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从抓斗的缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少功？

第35讲 定积分的应用测验卷

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