求下列各曲线所围成的图形的面积：
（1）$y=\frac{1}{2} x^2$ 与 $x^2+y^2=8$（两部分都要计算）；
（2）$y=\ln x, y$ 轴与直线 $y=\ln a, y=\ln b$ ．
求抛物线 $y^2=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处法线所围成的图形的面积．
求由抛物线 $y^2=4 a x(a>0)$ 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．
求摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ 与横轴所围成的图形的面积．
求由曲线 $\rho=3 \cos \theta$ 和曲线 $\rho=1+\cos \theta$ 围成图形的公共部分的面积．
求由曲线 $\rho=\sqrt{2} \sin \theta$ 和 $\rho^2=\cos 2 \theta$ 所围成图形的公共部分的面积．
把抛物线 $y^2=4 a x$ 及直线 $x=x_0\left(x_0>0\right)$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转，计算所得旋转体的体积。
由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积．
求由 $x^2+(y-5)^2=16$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得的旋转体的体积．
以椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 为底的柱体，被一个通过短轴且与底面成 $\alpha$ 角的平面所截，求截得部分的体积。
求由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱及 $y=0$ 围成图形绕直线 $y=2 a$ 旋转所产生旋转体的体积。
（1）试用元素法分析说明（画出示意简图）：由平面图形 $0 \leq a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x)$ ，绕 $y$ 轴旋转所得的旋转体的体积为：$V=2 \pi \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x$ ；
（2）计算由曲线 $y=\sin x(0 \leq x \leq \pi)$ 和 $x$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
计算曲线 $y=\ln x$ 上相应于 $\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{8}$ 的一段弧的长度．
计算曲线 $y=\frac{\sqrt{x}}{3}(3-x)$ 上相应于 $1 \leq x \leq 3$ 的一段弧的长度。
计算半立方抛物线 $y^2=\frac{2}{3}(x-1)^3$ 被抛物线 $y^2=\frac{x}{3}$ 截得的一段弧的长度．
计算星形线 $x=a \cos ^3 t, y=a \sin ^3 t$ 的全长．
在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱长度比为 $1: 3$ 的点的坐标．
求曲线 $\rho \theta=1$ 相应于 $\theta=\frac{3}{4}$ 至 $\theta=\frac{4}{3}$ 的一段弧长．
思考题：已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+1 \\ y=4 t-t^2\end{array}(t \leq 0)\right.$ ．过点 $(-1,0)$ 引 $L$ 的切线，求此切线与$L$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积．