$f(x)$ 是连续函数，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2} f\left(x^2-t\right) \mathrm{d} t=$
下列积分式
$$
I_1=\int_0^1 \sin x^2 \mathrm{~d} x, \quad I_2=\int_{-1}^1 \sin x^2 \mathrm{~d} x, \quad I_3=\int_{-1}^1 \sin x^3 \mathrm{~d} x, \quad I_4=\int_{-1}^1 x^2 \mathrm{~d} x \text { 中, }
$$
从大到小的排列次序为
下列反常积分中收敛的是（可以多选） $\_\_\_\_$．
A． $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
B． $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x \mathrm{~d} x$
C． $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^{22}}} \mathrm{~d} x$
D． $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^3} \mathrm{~d} x$
E． $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$ ．
已知两曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\int_0^{\arctan x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t$ 在点 $(0,0)$ 处的切线相同，写出此切线方程并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)$ ．
已知函数 $f(x)$ 连续，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{\frac{n-1}{n}}^{\frac{n+2}{n}} f(x) \mathrm{d} x$ ．
计算定积分 $\int_0^3 \sqrt{\left(9-x^2\right)^3} \mathrm{~d} x$ ．
计算定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^2 \mathrm{e}^x}{\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2} \mathrm{~d} x$
判断反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha-1}} \mathrm{~d} x+\int_1^{+\infty} \frac{1+\sqrt{x}}{x^\alpha} \mathrm{d} x$ 的收敛性．
$f(x)$ 是以 2 为周期的连续函数，证明：$F(x)=2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t-x \int_0^2 f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 2 为周期的连续函数．