判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \mathrm{~d} x$ ；
反常积分 $\int_1^2 \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{x^2-1}}$ ；
$\int_0^1 x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
试推导反常积分 $I_n=\int_0^{+\infty} x^n \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 的递推公式，并由此证明 $I_n=n!$ ．
设反常积分 $I=\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^k}$ ，问 $k$ 为何值时，$I$ 发散，$I$ 收敛，$I$ 取得最小值．
思考题：试计算 $\max _{0 \leq s \leq 1} \int_0^1|\ln | s-t| | \mathrm{d} t$ ．