（1） $\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}|\ln x| \mathrm{d} x$ ；
（2） $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ；
（3）$J_m=\int_0^\pi x \sin ^m x \mathrm{~d} x$（ $m$ 为自然数）；

解：（1）

$$
\begin{aligned}
& \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}|\ln x| \mathrm{d} x=-\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1 \ln x \mathrm{~d} x+\int_1^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x=-[x \ln x]_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1+\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1 \mathrm{~d} x+[x \ln x]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}} \mathrm{~d} x \\
& =2-\frac{2}{\mathrm{e}} .
\end{aligned}
$$

（2）

$$
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x
$$

解法一：因 $\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=\int_0^a[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{x}{1+\sin x}-\frac{x}{1-\sin x}\right) \mathrm{d} x=-2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x}{1-\sin ^2 x} \mathrm{~d} x \\
& =-2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x}{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x=-2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \mathrm{~d}(\sec x)=-2[x \sec x]_0^{\frac{\pi}{4}}+2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{\sqrt{2}}{2} \pi+2 \ln (\sqrt{2}+1) .
\end{aligned}
$$

解法二：原式 $=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x(1-\sin x)}{1-\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{x}{\cos ^2 x}-\frac{x \sin x}{\cos ^2 x}\right) \mathrm{d} x$

$$
\begin{aligned}
& =-2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x}{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x=-2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \mathrm{~d}(\sec x)=-2[x \sec x]_0^{\frac{\pi}{4}}+2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{\sqrt{2}}{2} \pi+2 \ln (\sqrt{2}+1)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text {（3）令 } x=\pi-t \text { ，}\\
&\begin{aligned}
& J_m=\int_\pi^0(\pi-t) \sin ^m(\pi-t) \cdot(\pi-t)^{\prime} \mathrm{d} x=-\int_\pi^0(\pi-t) \sin ^m t \mathrm{~d} t \\
& =\int_0^\pi(\pi-t) \sin ^m t \mathrm{~d} t=\pi \int_0^\pi \sin ^m t \mathrm{~d} t-\int_0^\pi t \sin ^m t \mathrm{~d} t=\pi \int_0^\pi \sin ^m x \mathrm{~d} x-J_m
\end{aligned}\\
&J_m=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \sin ^m x \mathrm{~d} x=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \mathrm{~d} x= \begin{cases}\frac{(m-1)!!}{m!!} \cdot \frac{\pi^2}{2}, & m \text { 为偶数, } \\ \frac{(m-1)!!}{m!!}, & m \text { 为奇数. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

设 $f(x)=\int_1^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$ ．

设 $f(0)=1, f(2)=3, f^{\prime}(2)=5, f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，求 $\int_0^1 x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ ．

设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \cos \lambda x \mathrm{~d} x=0$ ．

思考题：怎样计算 $\int_0^1 t^5(\ln t)^6 \mathrm{~d} t$ ？总结一下分部积分的次数和次幂的关系．