求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right)^2}{\int_0^x t \mathrm{e}^{2 t^2} \mathrm{~d} t}$ ．
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| \mathrm{d} x$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2} \sin x, & 0 \leq x \leq \pi \\ 0, & x < 0 \text { 或 } x>\pi\end{array}\right.$ ，求 $\Phi(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式，并讨论 $\Phi(x)$ 的连续性与可导性．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \leq 0, F(x)=\frac{1}{x-a} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ ，证明在 $(a, b)$ 内有 $F^{\prime}(x) \leq 0$ ．
思考题：设可积函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式：$f(x)=f(x-\pi)+\sin x$ ，且当$x \in[0, \pi)$ 时 $f(x)=x$ ，试求 $\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．