将区间［0，1］作 $n$ 等分，用定积分定义计算积分 $\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$ ．
利用定积分的几何意义直接写出下列积分的值：
（1） $\int_0^\pi \cos x \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\int_0^2 \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
估计下列各积分的值：
$\int_0^2 \mathrm{e}^{x^2-x} \mathrm{~d} x$ ．
证明： 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(x) \geq 0$ 且 $f(x)$ 不恒等于 0 ，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>0$ ；
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \geq\left[\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right]^2$ ．
利用定积分性质证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-a}^a x^n \sin x \mathrm{~d} x=0 \quad(0 < a < 1)$ ．
思考题：用定积分表示极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n} \cos \frac{1}{n}+\frac{2}{n} \cos \frac{2}{n}+\cdots+\frac{n}{n} \cos \frac{n}{n}\right)$ ．