若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内具有二阶导数，且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=f\left(x_3\right)$ ，其中$a < x_1 < x_2 < x_3 < b$ ，证明：在 $\left(x_1, x_3\right)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $a>b>0$ ，证明：$\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，在 $(0, a)$ 内可导，$f(a)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(0, a)$ 使
$$
f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0 .
$$
设 $f(x) 、 g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使
$$
\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f^{\prime}(\xi) \\
g(a) & g^{\prime}(\xi)
\end{array}\right| \text {. }
$$
设函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)$ $=0$ ，试用柯西中值定理证明：$\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}(0 < \theta < 1)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi$ ，$\eta \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．
思考题：拉格朗日微分中值定理 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(\xi)$ 中，$\xi$ 必定是 $x$ 的连续函数吗？