用洛必达法则求下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \ln x \cdot \ln (x-1)$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x)^{\cos \frac{\pi}{2} x}$ ；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_1^x+a_2^{2 x}+\cdots+a_n^{n x}}{n}\right)^{\frac{2}{\sin x}}$ ，其中 $a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为正常数，$n \geq 2$ 。
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{p a^x+q a^b}{x-b}, & x \neq b \\ a^b \ln a, & x=b\end{array}(a>0, a \neq 1)\right.$ ，试确定常数 $p$ 与 $q$ ，使 $f(x)$ 在 $x=b$ 处连续。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=2$ ．
思考题：讨论 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}},} & x>0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处的连续性．